相信大多數對圖論有所了解的讀者都對哈密頓這個名字並不陌生。「哈密頓鏈」、「哈密頓環」可以是圖論問題中的一個大類。而對於哈密頓本人，儘管不如費馬，高斯那樣如雷貫耳，但你是否知道他曾與拉格朗日相提並論，被驚嘆「第二位牛頓已經出現」。
接下來的這篇文章，能讓讀者們對哈密頓此人的一生，有著更為詳盡的認識。
哈密頓（Hamilton, willina Rowan, 1805—1865），又譯哈密爾頓，是英國的數學家及物理學家。他生於愛爾蘭的都柏林，3歲識字，14歲學會了12種語言。12歲讀完了拉丁文的歐幾裡得的《幾何原本》，13～17歲研究牛頓和拉普拉斯的著作。1823—1827年在劍橋大學三一學院學習，1827年成為都柏林大學天文學教授，兼該校天文臺臺長。是英國皇家學會會員和法國科學院院士。
01光線系統理論
二十三歲時哈密頓便完善了他關於光線系統的研究，並以此發表了《光線系統理論》的第一部分，之後又於二十七歲時將整篇《光線系統理論》補完，完成了哈密頓將光學原理擴展到整個動力學的抱負。
這篇《光線系統理論》可以算是哈密頓一生做出的最偉大的貢獻之一。這篇傑作讓雅克比在1842年的英國協會會議上宣稱「哈密頓是你們國家的拉格朗日（這裡的你們國家指將英語的民族）」，而這份《光線系統理論》在光學領域中更是有著如同《分析力學》之於力學般劃時代的意義。
很多人認為哈密頓的《光線系統理論》是他一生中事業的頂點，但哈密頓本人顯然並不這樣認為，他認為他的另一項研究才是他最偉大的傑作，並且是值得令他不朽的傑作，這便是哈密頓於1842年做出的重大發現——四元數。
02哈密頓的四元數，本質高階複數
哈密頓在數學上的成就，主要在微分方程理論和泛函分析方面。他也是衝破傳統代數關卡的勇士，寫下了《四元數基礎》（1886）名著。
下面介紹一下他創造四元數的趣事。
大家知道，代數學有各種運算律。比如：
（1）a+b=b+a，加法交換律；
（2）a×b=b×a，乘法交換律；
（3）（a+b）+c=a+（b+c），加法結合律；
（4）（a×b）×c=a×（b×c），乘法結合律；
（5）a×（b+c）=a×b+a×c，乘法對加法的分配律。
對於19世紀初的數學家，要說存在一種代數，保持如上某些運算律，而不保另一些，這是不可思議的。作為哈密頓，自然也受著這種束縛。但是，在1843年，出於實際的考慮，他發明了一種不符合乘法交換律的代數。拋棄交換律這個根本性的一步，對哈密頓來說得來不易。他是在對特殊問題作了多年的深思熟慮之後才果斷地採取的。
由於複數a+bi完全由a、b兩個實數決定，哈密頓果斷地用有序實數對（a, b）表示複數。這樣，以前籠罩在複數上的神秘氣氛被排除了。
哈密頓繼續想，不把複數嵌入有序實數對（a, b）中，而是把實數和複數都嵌入有序實數四元組（a, b, c, d）中，需定義（a, b, c, d）=（e, f, g, h），若且唯若，a=e, b=f, c=g, d=h.
哈密頓發現：為了多種目的，必須為四元組的加法和乘法作如下定義：
（a, b, c, d）+（e, f, g, h）=（a+e, b+f, c+g, d+h），
哈密頓稱這樣的有序實數四元數組為（實）四元數。
按照如上定義的四元數的加法和乘法法則，可以自行驗證，普通代數中的運算律，只有乘法的交換律不成立。
如果用符號1, i, j, k分別表示四元單位（1, 0, 0, 0），（0, 1, 0, 0），（0, 0, 1, 0）（0, 0, 0, 1），那麼，不難找到乘法是依下列乘法表進行的：
關於哈密頓拋棄乘法交換律思想的產生有個故事：「哈密頓經過十五年無效的沉思之後，在接近黃昏的時候，他與妻子在靠近都柏林的皇家運河邊散步時出現了一閃念。這個思想違反傳統觀念，他很激動而震驚，於是取出削鉛筆刀，把如上乘法表的要旨刻劃在布魯哈姆橋的一塊石頭上。為了紀念這個數學史上的裡程碑，後人在該橋的這塊石頭上鑲嵌了一塊水泥板，上面有關於這個故事的記載：
1843年10月16日哈密頓爵士曾散步於此，關於四元數乘法的基本公式（i^2=j ^2=k^2=ij k=-1）的天才發現來源於那時的一閃念。他還將它刻於此橋的一塊石頭上。
哈密頓的四元數曾有一個時期受到許多人的歡迎，認為他是未來物理學家們必不可少的工具；然而，現在早已成為數學史上一項很有趣的古董；它已經被靈活、方便的向量分析所取代。四元數之所以出名，就在於它推倒了傳統代數的關卡，這種勇敢精神才贏得了數學史上裡程碑的榮譽。
用四元數可以表達空間的轉動，它融合矢量算法、複數算法、指數算法、矩陣算法以及對偶數算法等於一身，在現代控制理論與技術，如在陀螺自控、導航系統、機器與結構、機器人技術、多體力學系統、人造衛星姿態控制等領域有著廣泛的應用，在計算機科學、高速車輛、運載工具、複雜機械工業技術等方面也都有重要的應用。他發現了四元數並建立四元數的運算法則。提出的哈密頓方程和哈密頓函數已量子力學方程的重要部分。
03哈密頓圈
公元1856年，哈密頓發明了一種極有趣的「週遊世界」的遊戲，當時曾經風靡一時。在遊戲中，哈密頓用一個正十二面體的20個頂點，代表我們這個星球上的20個大城市（如圖1）。遊戲要求：沿著正十二面體的稜，從一個「城市」出發，經過每個「城市」恰好一次，最後回到原出發點，注意，所經過的稜不許重複。
週遊世界的解後來被稱為哈密頓圈，它並不難求，但極有意思。它的解不是唯一的，求解的方法也有多種。讀者可以自己先畫一個正十二面體的平面拓撲圖，在圖上試試看，說不定很快就能找到一個哈密頓圈。如果找不到，下面給你提供一個尋找哈密頓圈的方法。
在平面拓撲圖上任取一點作為出發點。如圖2選A為出發點，沿稜前進到某一頂點時，有左拐和右拐兩條路。倘若週遊的路線是向右拐的，我們便在這個頂點旁標以「+」的記號；倘若週遊路線是向左拐的，則作「-」的記號。按照→A+, +, +, -, -, -, +, -, +, -, +, +, +, -, -, -, +, -, +, -→A便找到了一條哈密頓圈。由於這是一個循環系統，沿任何一點出發，出發點任選一個符號，均能找到一個哈密頓圈。
哈密頓週遊世界的遊戲無疑能夠移植到任意的多面體上來。不過，並不是所有的平面脈絡都存在哈密頓圈，圖3便是一個不存在哈密頓圈的例子。
我們一起來試試看正四面體、正六面體、正八面體、正二十面體等有沒有哈密頓圈？下面是他們的平面拓撲圖，用筆連一連。
哈密頓週遊世界遊戲不但在圖論中具有重要意義，而且吸引著很多數學家研究，至今還沒有找到一個圖有哈密頓圈的充要條件。另外，尋找路程最短的哈密頓圈問題就是運籌學中著名的「銷售員問題」，這是一個超級大難題，至今很多科學家仍在研究。哈密頓問題其最大魅力在於，世界上的很多數學家，經過了一百多年的研究，至今還沒有找到一個圖有哈密頓圈的充要條件
哈密爾頓在曲線和曲面的性質方面也有著一些貢獻，而最重要的是在光學方面的成就。哈密爾頓將幾何光學轉變為數學問題並且提出了一個方法解決了這個問題。哈密爾頓曾將時間考慮為終點的函數，並且證明這種量將跟隨終點坐標的變化而變化。