高中數學學法指導：立體幾何的降維與升維
高中立體幾何，是一個相對完整的知識體系，既可以按照純幾何去分析，也可以從空間向量或邏輯關係入手。
古希臘的泰勒斯曾運用降維的思想計算金字塔的高度，今天我們仍然可以沿著這個方向，將許多立體幾何問題轉化為平面幾何問題，然後進行求解。
高中立體幾何問題解法豐富多彩，其中應用最多的就是降維的思想方法，其次是升維的思想方法.這就是解決立體幾何問題的整體策略.
一、降維的思想：將複雜問題，抽象為一個或幾個簡單問題，最終將不易解決的問題變為易於解決的問題.
立體幾何的主要內容，不外乎直線和平面、多面體和旋轉體兩大部分.在解決這兩部分內容的某些空間問題時，僅憑空間有關描述是不能具體刻畫出它們的相對位置關係的.這時，我們常常運用降維思想，使其轉化到平面圖形來，採用平面幾何的知識來準確刻畫出空間關係.
例題1 如圖所示，已知在長方體ABCD-A1BCD中，E是DD1的中點，AB =8，AA=4，AD= 2，求直線AE與A1C1所成的角.
解題分析：
分析 直線與平面相交，是空間位置關係，但僅憑"相交"也不能精確反映其位置關係.要精確刻畫出直線與平面的位置關係，也需要用數量來表示.
通常，我們是將直線與平面相交所成的角轉化成平面的角來完成的.即用斜線與其在平面內的射影構成的銳角來表示.為了保證其完備性，同時規定，直線與平面垂直構成的角是直角，直線在平面平行構成的角是0°的角.
所以，求直線與平面所成的角，一般方法是，先降維轉化成平面角，再求出角的大小.
題中，要求異面直線AE與A1C1所成的角，由於AC//A1C1，這樣就將所求交角轉化為 AC與AE的交角∠EAC.它是一個平面角，再用平面幾何的知識求得該角的大小.
如圖所示，連接AC、EC，因為AC//A1C1，所以∠EAC是直線AE與A1C1所成的角，在△ACE中，因為
所以，根據餘玄定理得：
所以
所以，直線AE與A1C1所成的角為arccos(√34/34).
二、升維的思想：將高度抽象的問題，轉化具體便於描述與論證、便於求解的問題；
將缺少關聯的個例問題，擴展為一類問題，先解決其中較簡單的個例，再將規律與經驗進行推廣，進而解決問題.
線與線、線與面、面與面之間的關係錯綜複雜，平行關係、垂直關係或平行關係與垂直關係之間都可進行轉化，其證明也是考試的高頻點．證明時，不僅要思考它們之間的轉化，而且要理清判定定理和性質定理的條件與結論．
比如要證明平面α與平面β垂直，必須還要藉助其它的輔助線：當L⊥L1，L⊥L2，而L1和L2是平面β內的兩條相交直線，且直線L在平面α內時，則平面α與平面β垂直.
就如同代數中的算法體系，立體幾何中也存在一個邏輯化的證法體系. 這只是若干種證法中的一種，但這些方法本質上幾乎都是要就此展開，面對一個已知條件與結論之間的鴻溝，更多的時候是採用迂迴的策略，以退為進。要靈活運用相關知識，同時要注意一些較常遺漏疏忽的條件，避免"會而不全"導致失分.
例題2 如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別為AB、PC的中點.
（I）求證：MN∥平面PAD；
（II）若∠PDA=45°，求證：平面PMC⊥平面PCD.
解題分析：（I）證明∶
方法一∶ 如圖，取PD的中點E，連接AE，EN
∵N為PC中點，∴EN為△PDC的中位線，∴EN∥CD，EN=1/2 CD
∵CD∥AB，CD=AB，M為中點，
∴EN∥AM，EN=AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE
又∵MN不在平面PAD上，AE在平面PAD上，∴MN∥平面PAD.
方法二∶ 如圖，取CD的中點F，連接MF，NF，
∵N為PC中點，∴FN為△PDC的中位線，∴FN∥PD，
又NF不在平面PAD上，PD在平面PAD上，∴FN∥平面PAD.
同理可證MF∥平面PAD，MF與FN相交於點F，MF，FN都在平面MNF上，
所以平面MNF∥平面PAD，MN在平面MNF上，∴MN∥平面PAD.
（Ⅱ）證明∶PA⊥平面ABCD，CD在平面 ABCD上，AD在ABCD上，
∴PA⊥CD，PA⊥AD，∵CD⊥AD，PA與AD相交於點A，∴CD⊥平面PAD.
如圖，∵AE在平面PAD上，∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E為PD中點，∴AE⊥PD，
又∵PD與CD相交於點D，∴AE⊥平面PCD.
∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又∵MN在平面 PMC上，
∴平面PMC⊥平面PCD.