原創 張和持 返樸
導語：三門問題，也被稱為蒙提霍爾問題，是一道著名的概率問題：一個遊戲節目中共三扇門，一扇門後有汽車，另兩門後只有山羊，你選擇了一扇門但不打開，這時主持人會在另兩門中打開一個後面是山羊的門，現在你換不換自己剛才選擇的門？30年前這一問題被美國一知名雜誌刊登後引發了熱議，因為直覺告訴我們換不換都是一樣的，但答題人選擇換。數學愛好者、專業人士紛紛加入討論，進行了一場曠日持久的論戰，還發展出了諸多變種。現在讓我們來回顧一下這道經典問題，來看看直覺到底哪出錯了，信息又是如何影響結果的。
撰文 | 張和持
問題背景
在美國的一檔節目Let's Make a Deal 中，主持人蒙提·霍爾設置了一項小遊戲：
在你的面前有三扇門，其中一扇背後藏有一輛價值不菲的汽車；剩下的兩扇背後則分別是兩頭山羊。你現在有機會選擇一扇門，選好之後先不要打開，這時主持人會在另外兩扇門中，開啟一扇山羊門。現在你有兩個選擇，是應該維持原來的選擇，還是轉而選擇另一扇沒有開啟的門？
三門問題示意圖/圖片來源：維基百科
這看起來似乎是一個沒有深度的問題。可供選擇的兩扇門之間沒有什麼不同。不管選哪個，概率都應當是相同的才對。果真如此嗎？
實際上這個問題有很古老的歷史，可以追溯到法國數學家蘭伯特（Joseph Bertand）的盒子悖論，後來著名的數學科普大師馬丁·加德納（Martin Gardner）也提出過與三門問題相似的囚徒問題。1975年美國統計學家塞爾文（Steve Selvin）根據電視節目改編提出了這一問題，投給了《美國統計學家》，這也是蒙提霍爾問題名稱的由來。而真正引發討論是到了1990年，一位讀者向當時美國知名雜誌《遊行》（Parade）的專欄「交給瑪麗蓮」提出了關於這一問題的詢問。
瑪麗蓮·莎凡特（Marilyn vos Savant）曾被金氏世界紀錄認定為世界上智商最高的人，後來成為這家雜誌社的專欄作者專門回答各類問題。她給出的回答是：應該換門，而且換門後，開出汽車的概率將變為原來的兩倍。
瑪麗蓮的吉尼斯記錄頗受爭議，她給出的這個答案也同樣。人們紛紛向她寫信，質疑她的結論。一時間，社會各界都在談論這詭異的概率。來信表示反對的佔了92%，其中有將近
人拿過博士學位；65%來自大學，特別是數學等院系的信，都反對她的答案。蒙提·霍爾問題，或稱三門問題，一下子成為了關注的焦點。90年代的十年間，40多種學術刊物發表了關於這一問題超過75篇論文。
反對並不是毫無根據。關於問題和答案的表述不甚嚴謹，表面上看，我們也看不出換不換門究竟有什麼決定性的區別。瑪麗蓮為了說服反對者，專程組織了幾次實驗，其結果都證實了她的結論。
筆者聽說這個問題，是在多年以前看的另一檔美國電視節目 MythBusters ，中文譯為 流言終結者 。兩位主持人演示過的諸多實驗令人印象深刻。這一次他們也同樣忠實地再現了三扇門和山羊。最終他們的實驗結果證實了瑪麗蓮的答案：不換門，概率；換門，概率。
流言終結者節目
其實我們不一定非得大張旗鼓地搞些花裡胡哨的東西，用電腦也能模擬，得出的答案沒有不同。
計算機模擬29次的結果/圖片來源：維基百科
那麼這樣看來，瑪麗蓮的答案是對的了。現在的問題是，我們應該如何解釋這樣的結果？是我們的直覺究竟出了問題嗎？接下來我們並不打算解釋誰的觀點為什麼對，誰的觀點又為什麼錯；我們細細來看問題的前因後果，把所有條件和結論整理清楚。
簡單直觀的圖示解答
最不動腦的方法是把所有可能列出來，如下圖所示，當玩家選擇1號門的情況下所有的可能性。
玩家最初選擇1號門時的所有可能/圖片來源：維基百科
但這並不代表我們真正理解了問題所在。為了解答疑惑，我們先一步一步理清思路。首先，三門問題與兩扇門二選一究竟有何不同？或者說，我們剛剛開始選定的這扇門究竟產生了什麼樣的影響？
第一次的選擇，的確是隨機的。如果這時候把門打開，那麼有羊的概率就是。而剩下的兩扇門中，必然有一扇山羊門。所以打開的山羊門不會影響這個。那麼這樣說來，用總的去減，就應該是剩下那扇門開出汽車的概率，。這樣的確說得過去：一開始概率分布是均勻的：
圖片來源：維基百科
打開山羊門之後，的概率被「擠」到另一個門上了：
圖片來源：維基百科
回到一開始的疑問：我們一開始的選擇對結果產生了什麼影響？
用條件概率來直接計算三門問題中所提到的「我們剛開始選的門對剩下那個門的影響」，數學上我們稱之為條件概率，用來表示事件發生的情況下，事件發生的概率。那麼自然（其實這是條件概率定義），條件概率就等於發生的概率除以發生的概率：
其中分子表示兩個事件都發生的概率。在這個問題中，關鍵在於我們要求的是剩下的門開出汽車的概率。那
事件就是剩下那門開出汽車。
是什麼呢？我們最初做的選擇，有兩個結果：一開始就選到車，我們記為；一開始選到山羊，記為。這樣，剩下的門開出汽車的概率，就應該考慮到兩種情況的條件概率，分別乘上兩個先發事件的概率（相當於權重），再加起來這個式子稱為全概率公式，有了它我們可以具體計算。如果一開始就選到了車，那剩下的兩個門裡肯定沒有車。所以，那麼貢獻概率的就只有第二項了。如果一開始選到山羊，那剩下的門就一定是車，所以，這樣算出來也是非常自然的結果。第一次選出山羊的概率全部貢獻到剩下的門開出汽車的概率中了，所以換門概率更高也不足為奇。主持人開山羊門並不能改變一開始選到車的概率，但卻改變了剩下的門開出車的概率：如果不開門，條件概率本應該是（畢竟剩下的兩個門概率均等），而開門後，山羊門不可能有車，所以條件概率變成了。或者用貝葉斯理論的話說：主持人開的那扇山羊門，為我們提供了關於剩下那個門的信息。
用貝葉斯公式來追本溯源
雖然問題就解決了，但還是不知道我們最開始錯誤的直覺來自哪裡。我們來思考一下主持人「提供信息」的問題。一切的改變，都是因為主持人提供給我們的信息：主持人很明顯是知道門背後都是些什麼，才打開山羊門的。那要是主持人根本就不知道汽車在哪裡，只是隨手選擇了一扇門，而這扇門恰好是山羊門的話，主持人豈不是就不能提供任何信息了？
為了驗證這個想法，我們就假定主持人的開門行為完全是隨機的。記他開出山羊門這個事件為，那麼還是使用全概率公式我們想要知道的，就是當事件發生時，事件，也就是最初的門開出汽車的概率。因為主持人自己都不知道汽車在哪，所以如果要做實驗的話，樣本裡肯定存在主持人開出汽車的情況。而我們現在要算的條件概率，描述的就應該是在排出了這些樣本後的實驗結果。接下來我們就來計算看！果不其然，概率是
。第二個等號其實也算是全概率公式。這個結果符合我們的直覺：如果主持人跟我們一樣什麼也不知道，那不管換不換門概率都是一樣的。至此，我們已經完全搞清楚了這個問題。我們看到，一個看似毫無意義的行為，竟然能為決策者提供如此多的信息。那麼在更為複雜的博弈中，找到對手留下的蛛絲馬跡便尤為重要。
下面詳細說一下這個算式。
這整個式子被稱作貝葉斯公式，其中最神奇的地方，莫過於為了計算，竟然用到了。貝葉斯的思想最初不被人接受。貝葉斯公式相當於是在知道了結果的情況下求原因。同時代的數學家們批判它為「玄學」，可在三門問題中，確實派上了用場。
為了理解這種思維，讓我們假想一個工廠，有三臺機器生產同一種零件，事件分別表示一個零件是由某一臺機器生產的，事件表示生產出次品。在生產中，每臺機器產生次品的概率通常是已知的，總的次品率
也是已知的。那麼對於任意一個次品，它更有可能是哪臺機器生產出來的呢？這種情況下，我們就需要計算
，而這用到的也是貝葉斯公式，讀者朋友們感興趣的話自己試試推導，跟我們上面的計算步驟差別不大。
這種由果溯因的思路一般稱為貝葉斯推斷。這種方法最早的特例是託馬斯·貝葉斯證明的，後來拉普拉斯將其推廣，並應用於天體力學、醫療統計學等方面面。在面對未知的自然界時，我們無法知曉其背後的法則，但能觀察到現象，比如天體力學中，就是可觀測天體的大小、數量與過去的軌跡；醫療統計學中，則是患者的症狀、化驗結果、CT數據等，有了這些數據，我們就可以猜測，是否存在一個我們尚未觀測到的天體，或是患者是否得了某種病。猜測自然有可能是錯的，現在我們有了貝葉斯推斷，就能反過來計算我們所作假設成立的概率。
這一方法近幾十年來更多應用於機器學習領域，或者更窄的概念：統計學習。任何包含了模式識別的算法，基本上都能用上貝葉斯推斷，包括人臉識別，自動駕駛，他們會用到更加複雜的概念：當事先不存在假設時，就需要人為設定一項先驗分布。不過總的來說，思想與最經典的貝葉斯公式一脈相承。如今，以此為基礎的統計學仍在飛速發展。
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原標題：《三門問題：直覺究竟去了哪裡？》
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