初二數學期中考試熱點題型:高分學生必會幾何壓軸題

2020-12-20 中考數學分享

又到了初二數學期中複習時間了，對於人教版的初二數學，基本上半學期都在學習幾何，比如三角形、全等三角形、等腰三角形。在這眾多的三角形中，截長補短法、三角形中的旋轉、手拉手模型等，同學們都掌握好了嗎？

下面精選幾道期中考試的熱點題型供你複習！

例題1、如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC於點E、F，當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），給出以下四個結論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③2S四邊形AEPF=S△ABC；④BE+CF=EF．上述結論中始終正確的有（　　）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

例題2、以點A為頂點作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD、CE．

（1）試判斷BD、CE的數量關係，並說明理由；

（2）延長BD交CE於點F，試求∠BFC的度數；

（3）把兩個等腰直角三角形按如圖2放置，（1）中的結論是否仍成立？請說明理由．

【考點】三角形綜合題．

【分析】（1）根據SAS證明△EAC與△DAB全等，再利用全等三角形的性質解答即可；

（2）利用全等三角形的性質得出∠ECA=∠DBA，進而解答即可；

（3）根據（1）（2）中的證明步驟解答即可．

【解答】解：（1）CE=BD，理由如下：

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE=AD，AC=AB，

在△EAC與△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DAB=90°，AC=AB，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE=BD；

（2）∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

∴∠BFC=180°﹣90°=90°；

（3）成立，

∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，

∴AE=AD，AC=AB，

在△EAC與△DAB中，AE=AD，∠EAC=∠DAB=90°，AC=AB，

∴△EAC≌△DAB（SAS），

∴CE=BD；

∵△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECA+∠CBF=∠DBA+∠CBF=45°，

∴∠ECA+∠CBF+∠DCB=45°+45°=90°，

∴∠BFC=180°﹣90°=90°．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質、等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是牢固掌握全等三角形的判定及其性質知識點．

例題3、如圖，A（m，0），B（0，n），以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C點的坐標；

（2）在y軸右側的平面內是否存在一點P，使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

【考點】全等三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；等腰直角三角形．

【分析】（1）過點C作CD⊥y軸於點D，由△ABC為等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通過角的計算即可得出∠ABO=∠BCD，再結合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS證出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的長度，進而可得出點C的坐標；

（2）△PAB與△ABC全等分兩種情況：①當∠ABP=90°時，根據∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出點C、P關於點B對稱，結合點B、C的坐標即可得出點P的坐標；②當∠BAP=90°時，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根據△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，進而可找出四邊形APBC為平行四邊形，結合點A、B、C的坐標即可找出點P的坐標．綜上即可得出結論．

【解答】解：（1）過點C作CD⊥y軸於點D，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC=90°，AB=BC．

∵CD⊥BD，BO⊥AO，

∴∠CDB=∠BOA=90°．

∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，

∴∠ABO=∠BCD．

在△ABO和△BCD中，∠CDB=∠BO，∠ABO=∠BCD，AB=BC，

∴△ABO≌△BCD（AAS），

∴BD=AO，CD=BO，

∵A（m，0），B（0，n），

∴BD=﹣m，CD=n，

∴點C的坐標為（﹣n，n﹣m）．

（2）△PAB與△ABC全等分兩種情況：

①當∠ABP=90°時，如圖2所示．

∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，

∴點C、P關於點B對稱，

∵C（﹣n，n﹣m），B（0，n），

∴點P的坐標為（n，n+m）；

②當∠BAP=90°時，如圖3所示．

∵△ABC≌△BAP，

∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，

∴BC∥AP，

∴四邊形APBC為平行四邊形．

∵A（m，0）、B（0，n），C（﹣n，n﹣m），

∴點P的坐標為（m+n，m）．

綜上所述：在y軸右側的平面內存在一點P，使△PAB與△ABC全等，P點坐標為（n，n+m）或（m+n，m）．

【點評】直角坐標系中的幾何題，又稱代幾綜合題！初二上冊的難度不算太大，但是必備的數學思想方法一定要熟記，比如分類討論思想！

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