高中數學三角函數公式輕鬆記:三角函數積化和差公式快速掌握記憶

上文介紹了和差化積公式的推導與輕鬆記憶法，可以讓我們方便快捷地寫出三角函數和差化積公式。

本文繼續介紹積化和差公式，當然也是通過觀察找出規律快速記憶積化和差公式。

三角函數常見的積化和差公式

由於現在常見的積化和差公式是正餘弦的積化和差公式，所以關於正切餘切的積化和差公式這裡就不再介紹了。

同組相異乘積的積化和差公式的記憶

雖然上面公式有四個，但實際上同組相異的兩個公式可以歸為一個公式。

同組相異的積化和差公式

觀察①式和②式，我們發現兩者的積都是同組相異的乘積，並且也是相異的兩個角，因此①式中只要把α和β兩個角的位置互換就變成了公式②，同樣②式中的α和β兩個角的位置互換也就變成了公式①。

所以①和②這兩個公式可以看作是一個公式，這樣可以減少記憶的量。

這裡還有個技巧需要介紹一下，可以快速記憶該公式：

正弦兩角和差公式

根據sinαcosβ，我們運用前面介紹的正弦的兩角和差公式，可以知道sinαcosβ是正弦兩角和差公式的首項。而兩角和差公式的末項是符號相反的，也就是正弦兩角和的公式的末項與正弦兩角差的公式的末項的和是零。

所以sinαcosβ就是正弦兩角和差公式相加的結果，只不過兩者相加的結果是sinαcosβ的2倍，所以sinαcosβ就是正弦兩角和與兩角差公式的和的一半。

這樣也可以直接寫出sinαcosβ的積化和差公式了。

同理，cosαsinβ也就是正弦兩角和差公式中兩角和與兩角差公式中末項相減之後結果的一半。（由cosαsinβ開始的是cosα就可以判斷此同組相異乘積是正弦兩角和差公式中的末項，複習前面的介紹的方法，想一想為什麼可以直接這樣判斷。）

根據正弦兩角和差公式的口訣「正異同」，我們要讓兩個末項相加，且結果為正號，就是要正弦兩角和公式減去正弦兩角差公式，這樣公式的首項就直接相減為零，只剩公式的兩個末項相加，也就是cosαsinβ的2倍。

同組相同乘積的積化和差公式

同組同乘積的積化和差公式

觀察等式左邊，我們發現是同組相同三角函數形式的相乘組成的。

根據兩角和差公式中的「餘同異」，我們知道同組相同乘積是餘弦兩角和差公式中才有的，所以可以判斷出同組相同乘積的積化和差公式一定是轉換成餘弦的兩角和差公式進行的。

餘弦兩角和差公式

cosαcosβ一看就是兩角和差公式中首項，因為cosαcosβ一開始是cosα，根據前面介紹的方法知道這是餘弦兩角和差公式展開式中的首項。

由於餘弦兩角和差公式中的「餘同異」，我們知道其展開式中是同組相同乘積組成的，一個是「雙餘」，一個是「雙正」，然後根據符號相異，然後寫出公式。

因此可以據此直接寫出同組相同乘積的積化和差公式。

cosαcosβ一定是α和β這兩個角的餘弦的兩角和公式與兩角差公式相加而得。（因為要消掉sinαsinβ,而餘弦兩角和差公式中「雙正」為末項，且兩角和與兩角差公式的末項互為相反數，故兩者和為零）

只不過餘弦兩角和差公式之和為2cosαcosβ，所以要積化和差的話cosαcosβ就是α和β這兩個角的餘弦的兩角和差公式之和的一半。

同理sinαsinβ也是利用餘弦的兩角和差公式得出積化和差公式，並且要消掉cosαcosβ，這樣就需要利用α和β這兩個角的餘弦的兩角和差公式的差來求了。

雙正積化和差公式

由於要保持sinαsinβ，就要消除cosαcosβ，而要保持結果為正號，所以根據餘弦兩角和差公式「餘同異」也就是符號相異，可知就是cos(α-β)-cos(α+β)才可以得出2sinαsinβ。

由於公式一般是按照cos(α+β)放在首項，所以才有：

雙正積化和差公式

總結

根據上面介紹，我們知道可以根據兩角和差公式輕易地記憶積化和差公式。

1.根據積化和差公式中的積是同組同還是同組異確定是正弦兩角和差公式還是餘弦兩角和差公式。

如果是「同組異」相乘，則是正弦兩角和差公式形式。

如果是「同組同」相乘，則是餘弦兩角和差公式形式。

2.根據相乘形式的首個形式確定兩角和公式與兩角差公式的和或差的形式。

「同組異」相乘，如果首個是正弦形式，則為「和」形式。（只不過結果要除以2）

「同組異」相乘，如果首個是餘弦形式，則為「差」形式。（結果要除以2）

「同組同」相乘，如果首個是餘弦形式，則為「和」形式。（結果要除以2）

「同組同」相乘，如果首個是正弦形式，則為「差」形式。（結果要除以2）

「學習從學會觀察開始」，通過觀察，發現規律和特點，然後進行總結，提升學習效率，加強理解！