學霸們都在玩的數學華容道,鍛鍊出孩子們的最強大腦!

今天想給大家推薦個好玩又超級鍛鍊大腦思維的遊戲：挑戰數字2048

提起華容道，估計很多人都在最強大腦裡見過它。

作為「腦子好使」的證明，很多高智商的參賽者都要進行華容道的公開對決。當時賭王之子何猷君，也是憑藉21秒的華容道成績突然火爆網絡。

01遊戲簡介

數字華容道又叫15—puzzle（15-難題），它是一種古老的滑塊類智力玩具。

02遊戲玩法

數字華容道的遊戲規則很簡單，就是通過上下左右移動數字滑塊使打亂順序的數字還原成1到15排列的狀態。比如上面的題我們要通過移動滑塊得到下面右圖的狀態：

你可以先自己動手操作一下（沒有道具的同學可以用卡紙自己製作一個）。一般我們是先按1到4的順序擺好第一行，如果你動手了你就會發現1和2比較容易擺好，難的是3和4。比如我們會遇到這樣的問題：

4上不去，如果4左移，13下移也不行，因為這樣讓3和4上去順序還是反的，怎麼辦呢？

No.1

一點經驗

下面老師給出一種辦法，此時相信聰明的你肯定也想到了，這個方法我們在解決第二行：5~8時，一樣地可以利用：只要我們將第二行移到下面這種狀態就可以了：

可是不幸的是，這種方法不是萬能的，至少在解決第四行時這個方法是不靈的，甚至很多時候在解決第三行時這種方法也不好用。

No.2

一個方法

其實這正是智力玩具的魅力所在，那就是：在玩智力玩具的過程中我們總會遇到智力障礙！如果我們通過自己的努力，總結失敗經驗，得出解決方法，我們的思維就會得到鍛鍊，同時也會體驗到成功的樂趣。但與此相反，我們遇到智力障礙時只是簡單地上網搜索答案，雖然問題是解決了，但我們自己的思維並沒有得到什麼鍛鍊，體驗到的成功感也會小得多。我們再來看剛才的3和4的問題，雖然我們是解決了這個問題，但從另一個角度來看的話，這個問題可以看成是我們自己在移的過程中沒有注意3和4的順序所造成的，那這個問題我們能否避免呢？如果我們像下圖這樣擺3和4，就會很麻煩需要轉一圈才能讓3和4復原，那我們怎樣擺3和4就會很快將它們擺對呢？這個問題留給你自己來思考！

No.3

一處發現

有一次我在玩這個遊戲的時候，靈機一動我就把自己的解決步驟用筆記錄下來了。初始狀態是這樣的：

每次我移動哪個數字我就在紙上寫哪個數字，從前到後移動過程是這樣的：

接著我再把這些數字像下面這樣寫在一起，並數了數每個數字移動的次數：

最後發現：

觀察這個表格，我發現：有的數字出現的次數是奇數（單數），而有的數字出現的次數是偶數（雙數）！如果不仔細觀察、比較就會覺得這樣很正常，因為一個自然數不是奇數就是偶數，但當我們再觀察並將這些數字出現次數與它的初始狀態進行比較時，我驚喜地發現：

也就是說如果一開始這個數字的位置和數字本身是一樣的，那麼到最終還原它移動的次數就是偶數，否則這個數字移動的次數就是奇數！而且，經過連續五六個不同的題的操作和驗算我發現這個規律都是對的！於是我的這個發現，就可以升級為一個猜想：在解數字華容道的過程中，每個數字移動的次數和它的位置有關，如果初始狀態這個數字的位置和數字本身一樣，那麼從開始到最終還原它移動的次數就是偶數，否則它移動的次數就是奇數。有興趣的同學可以自己嘗試一下！（其實你只要在開始打亂的時候記錄下每一步移動的數字，然後在解的時候按把這些數字按反過來的順序移動就可以了），只有自己親自動手嘗試，你才能體驗到其中的樂趣。

03另一種玩法

其實數字華容道很早就已經很火了！但當時的玩法和現在有一點不一樣，它要解決的問題是：

你可能會說，這麼簡單！那我想先給你講一個故事：

當時有人懸賞1000美元（在當時是一筆巨款）徵詢答案。這在社會上引起了一場歇斯底裡的狂熱，據說一個商店老闆因為忙於解決這個難題而忘記了開店營業；一個牧師在某個寒冷的冬天夜晚借著路燈玩數字華容道；一個出版商外出吃午飯後沒有 回來，午夜時分，他的同事們在某個密室裡找到他，而他正在用切成片的蛋糕模擬數字華容道玩具在前後移動；甚至還有德國官員在專注於數字華容道而沒有認真聽演說。故事講完了，你肯定想問故事的結局是怎樣的？哈哈，最後沒有人成功，因為這個問題根本就是無解的。而且要想證明它為什麼沒有解必須要用到大學抽象代數的相關知識，在這裡我們就不說了。

如果玩過這個遊戲的同學，很有可能自己就碰到過解不出來的情況。我也碰到過，比如下面這個：

這個題是我在一本數學課外書中發現的，它很有特點，我們可以計算它每行的和，算出來你就會發現都等於30，如下圖：

你可以繼續驗算一下每列的和以及每對角線的和，看一看是不是也是30！算完你會發現它們都等於30，也就是說這個題符合我們的四階幻方，是不是很神奇啊！不過可惜的是它也是無解的！任我再怎麼努力地移，一直移，發現最終都只能達到下面這個狀態，接下來就無法再前進了：

是啊，剛才我們說了這個題，也就是只有14和15顛倒位置的題是無解的，既然幻方題能最終移成這個樣子，那不就正好說明幻方題也是無解的嗎！雖然我有一點點失落，但是它又激發了我另一個猜想：在數字華容道中所有無解的題，最終都可以移成只有14和15位置顛倒的狀態！

不管這個猜想對不對，至少我們以後再玩數字華容道時就不一定要先自己把順序打亂再來復原了，我們可以直接把數字倒出來，然後再隨意擺放，如果最終移成了只有14，15互換的狀態，我們就知道它是無解的；如果能全部還原就說明一開始我們自己出的題是有解的。

04遊戲的歷史

據說數字華容道是由一個名叫Sam Loyd的人發明的。但後來又有研究表明真正的發明者其實是一位名叫Noyes Palmer Chapman的郵遞員在1874年左右設計，而且在1879年就開始生產了。數字華容道的發明者這個故事，可以給我們很多啟示。其中的一個就是：我們玩智力玩具，一開始只有一點點經驗，這個時候我們對智力玩具只有一個初步印象，但是當我們體驗更多，反思更多後，我們對智力玩具的了解又會更多，那個時候我們對它的印象就會發生改變......

好了，今天的數學科普閱讀《數字華容道》就到這裡，同學們，再見!

內容參閱《數學無處不在》

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