幾何分布、二項分布及泊松分布:堅持離散

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閱讀目錄

1回顧引題

2幾何分布

3二項分布

4泊松分布

5本章小結

6內容擴展

1.回顧題引1 問題?

小明滑雪: 每次（獨立事件）試滑成功的概率0.2，不成功的概率0.8.則

1、試滑兩次成功的概率？
2、試滑一次或兩次猜中的概率？
3、試滑10000次，首次成功的概率？
4、試滑第10000次以上成功的概率？

2 概率樹：

3 解答：1、概率樹求概率

設X最終試滑成功次數，則：
P(X=1)=P(第1次試滑成功)=0.2【注：試滑一次成功的概率】

P(X=2)=P(第1次試滑失敗AND第2試滑成功)=0.2 * 0.8=0.16【注：試滑兩次成功的概率】

P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36【注：試滑一次或兩次猜中的概率】

2、試滑10000次，首次成功的概率？

P(x=10000)=q^{10000-1}p=0.8^{9999}*0.2

3、試滑第10000次以上成功的概率？

P(x>10000)=q^{10000}p=0.8^{10000}

2.幾何分布

1、概念

什麼是幾何分布？

【百度百科】幾何分布是離散型概率分布。在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細的說，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。
【課本】如果p代表成功概率，則1-p即q代表失敗概率使用以下：

公式叫做概率的幾何分布。

2、條件、眾數、公式、方差、期望

幾何分布條件：
1、進行一系列相互獨立的實驗。
2、每一次實驗既有成功，又有失敗的可能，且單次實驗成功概率相等。
3、為了取得第一次成功需要進行多少次實驗。

眾數：
任何幾何分布的眾數都是1，因為r=1時，P(X=1)最大

表達式（X符合幾何分布，其中成功概率p）：
X ~ G (p) 或者 X ~ Geo (p)

X表示隨機發生的次數，p表示成功的概率。（補）

計算公式：(成功概率為p，失敗概率為q，試驗次數為r)
1、第r次試驗第一次成功： P(X=r)=pq^{r-1}
2、需要試驗r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
3、試驗r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r

計算方差和期望：

期望：E(X)=1/p
期望特點：隨著x變大，累計總數和越來越接近一個特定值。
方差：Var(X)=q/p^2
方差特點：隨著x變大，方差越來越接近特定值

3、優缺點4、實例

應用科學：數學以及相關領域

適用領域範圍：自然數學，應用數學，高等數學，概率論

射擊比賽等

3.二項分布1、概念

什麼是二項分布？
【百度百科】二項分布即重複n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變。

【課本】在相互獨立事件中，每道題答對概率為p，答錯概率為q。在n個問題中答對r個問題的概率為：

這類問題稱之為二項分布。
【統計學定義二項分布】 在概率論和統計學中，二項分布是n個獨立的是/非試驗中成功的次數的離散概率分布，其中每次試驗的成功概率為p。這樣的單次成功/失敗試驗又稱為伯努利試驗。實際上，當n = 1時，二項分布就是伯努利分布，二項分布是顯著性差異的二項試驗的基礎。

2、條件、表達式、兩點分布、公式、方差、期望

條件：
1．正在進行一系列獨立試驗；
2．每次試驗都存在失敗和成功的可能，每一次試驗的成功概率相同;
3．試驗次數有限。

表達式（試驗次數n，成功概率p）：
ξ~B(n,p)

ξ表示n次隨機變量ξ次成功數，p表示成功的概率（補）

兩點分布：

當n=1時，記住 X ~ B (1，p) 即兩點分布。

二項分布形狀特點：
P<0.5時圖形向右偏移；當p>0.5時，圖形向左偏移。

計算概率公式：
其中

期望:E(X)=np

方差: Var(X)=npq（其中q=1-p）

如：4（n）個隨機事件成功2(r)次，成功概率是0.4（p）,不成功概率0.6（q）.則成功選擇一次是（0.4^2）*（0.6^（4-2）），隨機組合C_r_n（補）

3、優缺點

優點：在試驗次數一定，求成功次數時，幾何分布顯示不適合的情況下，給予這類問題二項分布能更好的解決。
缺點：但是面對試驗次數不固定，發生事件概率的情況下，顯然幾何分布與二項分布都不能解決，這裡也體現出泊松分布的優勢

4、實例

某地某一時期內出生35名嬰兒，其中女性19名（定Sex=0），男性16名（定Sex=1）。問這個地方出生嬰兒的性別比例與通常的 男女性比例（總體概率約為0.5）是否不同？數據如表10-2所示。35名嬰兒的性別的二項式檢驗?（參見SPSS演示）

n次試驗在相同條件下進行，各個觀察單位的結果獨立，且只能具有相互對立的一種結果，二項分布常用於醫學領域。

4.泊松分布1、概念

【課本】單獨事件在給定區間隨機獨立發生，已知事件平均發生數且有限次數，通過以下計算：

這樣的一類事件叫做泊松分布。

特點
1、不需要一系列試驗，描述事件特定區間發生次數。
2、兩個獨立的泊松分布相加也符合泊松分布。（即n>50且p<0.1時或np近似等於npq時）
3、特定條件下可以用來近似代替二項分布。

2、條件、表達式、特點、公式、眾數、方差、期望

條件：
1、單獨事件在給定區間內隨機獨立的發生，給定區別可以是時間或者空間。（一周、一英裡）
2、已知該區間內的事件平均發生次數（發生率），且為有限數值。該事件平均發生次數用λ表示。

表達式（區間內平均發生次數為λ）：

泊松分布形狀特點：λ小時，分布向右偏斜；當λ大時，分布逐漸對稱。

計算概率（e常數2.718，平均發生次數為λ，區間內r次事件）：

眾數：λ是一個整數，則有兩個眾數λ和λ-1，如不是整數，眾數λ。

期望： E(X)=λ

方差： Var(X)=λ

獨立隨機變量進行組合：

泊松分布與二項分布有何關係？
當二項分布X~B(n,p)的n很大而p很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，其中λ為np。通常當n≧10,p≦0.1，np<=5時，就可以用泊松公式近似得計算，X可以近似表示X~Po（np）。

問題：為什麼n要足夠大，p要足夠小？

因為在分時間窗口的時候有個假設：每個時間窗口最多只有一個乘客到達。(時間區間乘客問題)

3、優缺點

不需要一系列試驗，描述事件特定區間發生次數，特別適用。另外一定條件下替換二項分布帶來簡便的運算。

4、實例

應用學科：概率論

某一服務設施在一定時間內到達人數，電話交換機接到呼叫的次數，汽車站臺的侯客人數，機器出現的故障次數，自然災害發生次數，一塊產品的缺陷，顯微鏡下單位分區內的細菌分布數等。

在交通工程的應用、非典流行與傳播服從泊松分布

自然現象普遍存在泊松分布現象，主要指大量重複實驗中稀有事件發生的次數。

5.本章小結1 幾何分布

應用條件：
進行一系列獨立試驗，每次試驗成功或失敗且每次成功概率相同。目的：取第一次成功需要進行多少次試驗。
表達式（X符合幾何分布，其中成功概率p）：
X ~ Geo (p)
幾何分布概率算式成立：
1、第r次試驗第一次成功： P(X=r)=pq^{r-1}
2、需要試驗r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
3、試驗r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
期望方差：
E(X)=1/p 和 Var(X)=q/p^2

2 二項分布

應用條件：
進行一系列次數有限的獨立試驗，每次試驗成功或失敗且每次成功概率相同。目的：第N次試驗中成功多少次。
表達式（X符合二項分布，n是試驗次數，其中成功概率p）：
X ~ B (n，p)
兩點分布：
當n=1時，記住 X ~ B (1，p) 即兩點分布。
二項分布概率算式成立：
其中
期望方差：
E(X)=np 和 Var(X)=npq

3 泊松分布

應用條件：
單事件在給定區間內隨機、獨立的發生，已知給定區間事件平均發生次數且有限。目的：給定區間內事件發生次數。
表達式（X符合泊松分布，其中成功概率p）：
X ~ Po(λ)
泊松分布概率算式成立：

期望方差：E(X)=λ 和 Var(X)=λ 如果X~Po(λx),Y~Po(λy)且X和Y是獨立的，則X+Y~Po（λ_x+λ_y） 如果X~B(n，p)的n很大而p很小時，X可以近似表示X~Po（np）。

4 泊松分布與二項分布、正態分布的關係

泊松分布代替二項分布
當n很大且p很小時，可以用X~Po(np)近似代替X~B(n,p).(n>50且p<0.1)或者(q近似1且n很大，np近似等於npq)

正態分布代替泊松分布
如果X~Po(λ)且λ>15,則可用X~N(λλ)進行近似

正態分布代替二項分布
二項分布X~B(n,p)，當np>5且nq>5時,正態分布代替二項分布.(必須進行連續性修訂)
修訂
小於等於:P(X<=a)連續標度a+0.5即P(X<a+0.5)
大於等於:P(X>=b)連續標度a-0.5即P(X>b-0.5)
介於:P(a<=X<=b)連續標度即P(a-0.5<=X<=b+0.5)

總結:小加大減

6.內容擴展

伯努利試驗：

進行一系列的重複獨立試驗，每個試驗的結果只有二個，一個結果出現的概率總是p，另一個結果總是q,稱為貝努利試驗。

n重伯努利試驗：

伯努利試驗在相同條件下獨立重複進行n次。

兩點分布：

隨機變量X只可能是0或1，其中0<p<1，則稱X服從參數為p的兩點分布記住X~B(1,p)。

分布分類
連續型隨機分布：正態分布、均勻分布、指數分布、對數正態分布、柯西分布、Gamma分布、瑞利分布、韋伯分布
離散型隨機分布:二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布
三大抽樣分布：卡方分布、F分布、t分布