概念辨析「二項分布與超幾何分布」的聯繫與區別

2021-02-21 中學數學教與學

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本文來源於公眾號：品數學（ID：pinmaths）

中學數學教與學（ID：zxsxjyx）選編（轉載請註明出處）

經常有學生問二項分布與超幾何分布到底怎麼區分，是利用二項分布的公式去解決這道概率題目，還是利用超幾何分布公式解決呢?

好多學生查閱參考書尋找答案，其實這個問題的回答就出現在教材上, 北師大版新課標教材選修2-3從兩個方面給出了很好的解釋. 

本質區別：

(1) 超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，而二項分布描述的是放回抽樣問題.

(2) 超幾何分布中的概率計算實質上是古典概型問題；二項分布中的概率計算實質上是相互獨立事件的概率問題.

從以上分析可以看出兩者之間的聯繫：當調查研究的樣本容量非常大時，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計算得到的概率非常接近，可以近似把超幾何分布認為是二項分布.

例1．（2016·漯河模擬）寒假期間，我市某校學生會組織部分同學，用「10分制」隨機調查「陽光花園」社區人們的幸福度．現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(以小數點前的一位數字為莖，小數點後的一位數字為葉)，若幸福度分數不低於8.5分，則稱該人的幸福度為「幸福」.

    註：先不要急於看答案，大家先自己解一下這道題再往下看，會有意想不到的收穫哦！

    [錯解分析]第二問的選人問題是不放回抽樣問題, 按照定義先考慮超幾何分布,但是題目中又明確給出：「以這16人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，從該社區(人數很多)任選3人」,說明不是從16人中任選3人,而是從該社區(人數很多)任選3人,所以可以近似看作是3次獨立重複試驗,應該按照二項分布去求解，而不能按照超幾何分布去處理.

從以上解題過程中我們還發現，錯解中的期望值與正解中的期望值相等，好多學生都覺得不可思議，怎麼會出現相同的結果呢？其實這還是由於前面解釋過的原因，超幾何分布與二項分布是有聯繫的，看它們的期望公式：

總結

綜上可知，當提問中涉及「用樣本數據來估計總體數據」字樣的為二項分布。

高考解題中，我們還是要分清超幾何分布與二項分布的區別，以便能正確的解題，拿到滿分！

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