歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，今天來說一說三角形全等判定證明條件之三：運用ASA、AAS證明兩個三角形全等的一些運用思路過程及細節。
【知識梳理】
①兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫為「角邊角」或「ASA」；
②兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成「角角邊」或「AAS」；
③特別注意：「AAA」不能證明兩個三角形全等；
④幾何符號語言：
【範例精講】
例1.如圖，已知，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AB＝AD，求證：△ABC≌△ADE
【解析】：利用∠BAE內存在數學典型模型：「共角模型」求出等角，再依AAS證全等；
【解題過程】
∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE（共角模型），在△ABC和△ADC中，∵∠C＝∠E，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）
例2.如圖，CD⊥BD，AB⊥BD，CE⊥AE，且AB=DE，求證：CD=BE.
【解析】欲證邊相等，首先考慮所在的三角形是否全等，由題目條件可知全等條件已有一條一角相等，只需再證一角相等，即可用「AAS」或「ASA」證全等。
【解題過程】
∵CD⊥BD， CE⊥AE，∴∠C+∠CED=90，∠CED+∠AEB=90，∴∠C=∠AEB，在△CDE與△EBA中，∵∠D=∠B=90，DE=AB，∠C=∠AEB，∴△EDE≌△EBA（ASA），∴CD=BE.
例3.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE、CD 相交於O，AD=AE, ∠B=∠C，求證：BD=CE
【解析】利用∠A是△ABE、△ADC的共角及全等判定條件：AAS可證△ABE≌△ACD，得AB=AC，再利用等式性質可得BD=CE
【解題過程】
在△AEB與△ADC中，∵∠A=∠A，∠B=∠C，AD=AE，∴△AEB≌△ADC（AAS），∴AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.
例4.如圖,已知AC平分∠DAB、∠DCB，求證：∠AEB=∠AED。
【解析】：欲證∠AEB=∠AED，需證所在三角形全等：△ADE≌△ABE，理順手上已知條件，已知一邊一角相等：AE=AE、∠DAE=∠BAE，故只需再找一邊AD=AB，利用「SAS」證全等，利用ASA證△ADC≌△ABC即可得AD=AB。
【解題過程】
∵AC平分∠DAB、∠DCB，∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC（ASA），∴AD=AB，又∵∠DAE=∠BAE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE，∴∠AEB=∠AED.
例5.在△ABC中，∠B=∠ACB，點F為AC延長線上的一點，D為邊AB上的一點，且BD=CF，求證：DE=EF.
【解析】：欲證DE=EF，需證所在三角形全等，但DE、EF所在的三角形大小不一，肯定不全等，故需要添加輔助線構造三角形全等，由於DE所在的△BDE更大，故可以採用「割」的方法，構造一個三角形與EF所在的△ECF全等，作輔助線DM//CF，證△DBM是等腰三角形、△DME≌△FCE即可解答。
【解題過程】
過點D作DM//CF交BC於點M，∵∠DMB=∠ACB，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴△DBM是等腰三角形，∴DB=DM，∵BD=CF，∴DM=CF，∵DM//CF，∴∠MDE=∠F，在△DME與△FCE中，∵∠MDE=∠F，∠DEM=∠FEC，DM=CF，∴△DME≌△FCE（AAS），∴DE=EF.
例6.（1）△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補充的條件中錯誤的是（ ）
A. AC=DF B. BC=EF
C.∠A=∠D D. ∠C=∠F
（2）如圖，AB//CD，欲證△AOB≌△COD，可補充條件_______.(填寫一個適合的條件即可).
【解析】：（1）題目已知證明△ABC≌△DEF的條件是一邊與一角，我們可以利用「SAS」、「ASA」、「AAS」證全等，所以補充的條件必須符合以上三個全等判別條件，即選項C、D是符合的，選項B中，AB與BC的夾角是∠B，DE與EF的夾角是∠E，若BC=EF，正好符合「SAS」；而選項A中，AB與AC的夾角是∠A，DE與DF的夾角是∠D，即題目已知條件中的等角：∠B=∠E，不是等邊AB=DE、AC=DF的夾角，「ASS」是不能證明兩三角形全等的，故選A.
（2）由題目已知條件可知，在△AOB與△COD中，三組對應角都相等：因平行線性質可得：∠A=∠C、∠B=∠D，由對頂角性質可得：∠AOB=∠COD，故欲證△AOB≌△COD，只需補充一個條件：等邊即可，所以補充的條件：AB=CD或AO=CO或OB=OD，即可利用「SAS」或「ASA」或「AAS」證全等.
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