全等三角形專題——藉助正方形證全等三角形

正方形的特殊之處

都知道正方形有4條等邊，4個等角都是90°，對於證全等三角形來講，已經有了1對等邊和1對等角，我們只要再找1對角或1對邊就能證全等。比如下面的圖，我們很容易證明，△BCG≌DCE。

例題一：

ABEF和ACHD均為正方形，證明：（1）、BD⊥CF （2）、BD=CF

解題思路：

要證明（1）和（2），其實只要證明△BAD≌△FAC就行。因為2個正方形，可以得到BA=FA,AD=AC,還差一夾角。

而∠BAD=90°+∠FAD,∠FAC=90°+∠FAD,利用了正方形的直角，很容易得到∠BAD=∠FAC，那麼△BAD≌△FAC也就有了。所以BD=CF

因為全等，∠BDA=∠FCA，而∠BDA+∠BOC+對頂角=∠FCA+90°+對頂角=180°，所以∠BOC=90°，也就是BD⊥CF。

總結：此例題很好的利用了正方形的等邊，直角，再通過三角和為180°，找到等角，最後證得全等。

例題二

ABEF和ACHD均為正方形，AS⊥BC交FD於T，求證：T為FD的中點

解題思路：

T為FD的中點，也就是證FT=TD,那麼我們就要想到找這兩條邊相關的三角形，是否全等，看圖似乎找不到，那就作輔助線。很自然想到，延長SA，因為題中數不清的直角，所以我們優先想到在SA上和SA的延長線上做垂線。所以過F作SA的延長線的垂線，垂足為Q,過D作ST的垂線，垂足為P。

然後很容易知道，△FQT和△DPT有三對角相等，這時候我們需要一對邊來證全等。

有過例一的練習，很容易證△FAQ≌△ABS，所以FQ=AS，同理，△DPA≌△ASC,所以DP=AS,所以得到另一對等邊，FQ=DP,然後根據AAS證得△FAQ≌△ABS，那麼T為FD的中點也可得到。

例題三

ABEF和ACHD均為正方形，M為FD的中點，求證：AS⊥BC

要證AN⊥BC，也就是證明直角。∠FAQ+∠BAS=90°很容易知道，所以只要得到∠SBA+∠BAS=90°就可以證明AN⊥BC。

先用例2的輔助線，看能不能解決問題。想辦法證明△FAQ≌△ABS，但是只能找到一對等邊，無法證明∠FAQ=∠ABS，所以此路不通。

T是中點，也就是FT=TD,那麼找與這兩條邊有關的全等三角形這個想法不變，既然作垂線不能多出一對等角，無法證明全等，那麼不妨造一對等邊，看看會不會出現全等。所以嘗試，延長AT到M,AT=MT,連接FM,DM

我們很容易知道四邊形MFAD是平行四邊形，因為對角線平分的四邊形是平行四邊形。FM=AD=AC,而AB=AF,要證△MFA≌△CAB，只要再找一個夾角就行。那麼∠MFA=∠CAB嗎？

∠CAB+∠FAD=360°-90°-90°=180°,FM//AD可得∠FMA+∠FAD=180°,示意圖∠CAB=∠MFA，一對等角有了，然後根據SAS證明全等，然后角和90°很容易得到∠ASB=90°。

總結

例二和例三條件和結論的互相證明，很好的體現了正方形等邊、直角的好處。通過90°和180°不斷找尋角和角的關係，最後證全等。通過這3個例題，以後看到正方形，應該知道怎麼去找全等三角形了。

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