全等三角形專題——截長補短法構造全等

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截長補短法構造介紹

若遇到證明線段的和差倍分關係時，通常考慮截長補短法，構造全等三角形。

①截長：在較長線段中截取一段等於另兩條中的一條，然後證明剩下部分等於另一條；

②補短：將一條較短線段延長，延長部分等於另一條較短線段，然後證明新線段等於較長線段；或延長一條較短線段等於較長線段，然後證明延長部分等於另一條較短線段

截長補短法構造全等——例題一

在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°

要證∠BAD+∠BCD=180°，想辦法把這兩個角整到一起，比如同在三角形中，或者同在一條直線上。

在BC線段上截取BE，連接DE，這樣∠BAD和∠BCD就有辦法聯繫在一起了。

BD平分∠ABC.+公共邊+等邊（SAS）可以證得△ABD≌EBD，得∠BAD = ∠BED,AD=DE

因為AD=DC，可得△DEC是等腰三角形，即∠DEC = ∠BCD。

∠BED+∠DEC=180°,很自然得到∠BAD+∠BCD=180°

截長補短法構造全等——例題二

如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證;AB＝AD+BC。

證明思路：

方法一：通過「截長」構造全等

AB截取線段AF，使AF=AD。

AF=AD + EA平分∠DAB + AE公共邊，易證△AEF≌AED（SAS），可得AF=AD,∠AFE=∠D

AD//BC可得∠D+∠C=180°,∠BFE+∠AFE = ∠BFE+∠D=180°,可得∠BFE=∠C

然後根據AAS易證明△FBE≌CBE,可得FB=BC，最後得出AB=AF+FB=AD+BC

方法二：通過「補短」構造全等

延長BC到G，使CG=AD。

根據SAS易證△ABE≌GBE,得AB=BG，∠BAE=∠G

AE平分∠BAD,可得∠BAE=∠EAD,所以∠EAD=∠G,AD//BC可得∠D=∠ECG

2個角1個邊，就可以通過ASS證明△ADE≌GCE,可得AD=CG

最後可得，AB=BG=BC+CG=AD+BC

截長補短法構造全等——例題三

五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE

證明思路：

BC+DE=CD，要利用這個條件，得想辦法把它們整到一條線或者同個三角形中。∠ABC+∠AED=180°，平角和是180°，三角形和是180°（需要3隻角）。所以很自然相到延長DE或者CB，把所有條件整到一條線上去。

延長DE到F，使EF=BC，連接AF。

觀察△ACD和△AFD,AD公共邊，CD=DE+EE=DF，兩邊已在，只要再有1邊或者1夾角就有全等。但是角相等是要我們證明的，所以找AB=AF。

而AB=AE，BC=EF，∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°（平角和），自然可得∠ABC=∠AEF，根據SAS可以證明△ABC≌△AEF,可得AB=AF

最後根據SSS證明△ACD≌△AFD，∠ADC=∠ADE，也就是AD平分∠CDE

截長補短法構造全等——例題四

已知四邊形ABCD中，AD//BC，若∠DAB的平分線AE交CD於E，連結BE，且BE恰好平分∠ABC，判斷AB的長與AD＋BC的大小關係並證明.

要比較AB和AD＋BC的大小關係，就要把三條邊整到同個三角形或者同一條線上。很自然想到「截長補短」。「補」很難找到全等三角形，那就&34;。

線段AB上做BF=BC，連接EF

解題思路：

BF=BC+BE平分得角相等 + BE為公共邊可得△BCE≌△BFE，可得∠BFE=∠BCE

AD//BC可得∠D+∠BCE=180°,而∠AFE+∠BFE=180°（平角和），所以∠AFE=∠D

AE平分∠DAB，可得∠FAE=∠DAE，根據AAS可得△FAE≌△DAE，可得AF=AD

最後，AB=BF+AF=BC+AD

截長補短法構造全等——例題五

△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．

很自然想到「截長」，在AB上取AE=AC。

易證△AED≌△ACD,可得AE=AC，∠AED=∠C

因為∠AED=∠B+∠3，所以∠C=∠B+∠3，因為∠C＝2∠B，所以∠B＝∠3,可得EB=ED

最後，AB＝AE+BE=AC+CD

總結：

截長、補短的目的就是把線段整到同一條線上或者同一個三角形中。然後根據三角形和直線的一些性質解題。