初中數學證明三角形全等方法總結

在證明線段或角相等時，解題的關鍵往往是根據條件找到兩個可能全等的三角形，再證明這兩個三角形全等，最後得出結論.

利用全等三角形的性質可以證明分別屬於兩個三角形中的線段或角相等．

下面介紹證明三角形全等的幾種方法，供同學們參考．

一、利用公共角證明全等

【例題 1】如圖 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 於點 O.

圖 1

求證: ∠ABF ＝∠ACE.

分析：要證明 ∠ABF＝∠ACE，只需證明 △BOE≌△COF 或 △ABF≌△ACE. 而由圖形可知 ∠A 是公共角，又由已知條件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以 △ABF≌△ACE（SAS），於是問題獲證．

證明：略.

二、利用對頂角證明全等

【例題 2】 如圖 2，點 B、E、F、D 在同一條直線上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，連接 AC 交 BD 於點 O．

圖 2

求證： AO ＝ CO．

分析：要證明 AO＝CO，只需證明 △AOE≌△COF 或 △AOB≌△COD 即可．根據現有條件都無法直接證明．而由已知條件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接證明 △ABE≌△CDF，則有 ∠AEB＝∠CFD，進而有 ∠AEO＝∠CFO，再利用對頂角相等即可證明 △AOE≌△COF（AAS）於是問題獲證．

證明：略.

三、利用公共邊證明全等

【例題 3】 如圖 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．

圖 3

求證：∠B ＝∠C．

分析：設 AC 與 BD 交於點 O，此時∠B 與∠C 分別在 △AOB 和 △DOC 中，而用現有的已知條件是不可能直接證明這兩個三角形全等的，需添加輔助線來構造另一對全等三角形．此時可以連接 AD，那麼 AD 是 △ABD 和 △DCA 的公共邊，這樣可以證明 △ABD≌△DCA（SSS），從而可證明 ∠B ＝∠C，於是問題獲證．

證明：略.

四、利用相等線段中的公共部分證明全等

【例題 4】 如圖 4，點 E、F 是平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 上的兩點，AF ＝ CE.

圖 4

求證：BE∥DF.

分析：要證明 BE∥DF, 只需證明 ∠BEC ＝∠DFA，此時可以轉換為證明 ∠AEB ＝∠CFD, 進而證明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .

證明：

∵ 在平行四邊形 ABCD 中，

∴ AB∥CD，AB = CD，

∴ ∠BAE = ∠DCF，

∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，

∴ AE = CF，

∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），

∴ ∠AEB ＝∠CFD,

∴ ∠BEC ＝ 180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，

∴ BE∥DF.

五、利用等角中的公共部分證明全等

【例題 5】 如圖 5，已知 ∠E ＝ 30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．

圖 5

求： ∠C 的度數．

分析：已知 ∠E ＝ 30°，要求 ∠C，可考慮證明 △ABC≌△ADE , 由 ∠BAE ＝∠DAC , 結合圖形可知∠BAC ＝∠DAE，於是問題獲解．

證明：

∵ ∠BAE＝∠DAC，

∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，

∴ ∠BAC ＝∠DAE，

∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，

∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,

∴ ∠C = ∠E = 30° .

六、利用互餘或互補角的性質證明全等

【例題 6】如圖 6，已知 ∠DCE ＝ 90°，∠DAC ＝ 90°，BE⊥AC 於點 B, 且 DC ＝ EC, 能否找出與 AB + AD 相等的線段，並說明理由．

圖 6

分析：由於 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此時只需證明 AD ＝ BC 即可．而事實上，用同角的餘角相等可得到 ∠DCA ＝∠E，從而證明 △ADC ≌ △BCE，問題獲證．

注意考點：同角或等角的餘角相等.

證明：

∵ BE⊥AC，

∴ ∠EBC = 90°，

∵ ∠DCA + ∠ACE = ∠DCE = 90°，∠E + ∠ACE = 90°，

∴ ∠DCA ＝∠E，

∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,

∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），

∴ AC = BE , AD = BC，

∴ AB + AD = AB + BC = AC = BE .

七、利用角平分線的性質構造全等三角形證明全等

考點：角平分線上的點到角兩邊的距離相等

【例題 7】如圖 7，點 P 是 ∠ABC 的平分線 BN 上一點，PE 垂直 AB 所在的直線與 E , PF 垂直BC 所在的直線於 F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.

圖 7

求證：PA = PC.

證明：

∵ BN 是 ∠EBC 的角平分線，PE⊥BA，PF⊥BC，

∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,

∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，

∴ ∠PAE = ∠PCF，

∴ △PAE ≌ △PCF，

∴ PA = PC.

八、利用截長補短法構造全等三角形證明全等

所謂截長法是指在較長的線段上截取一條線段等於較短的線段，而補短法是指延長較短的線段等於較長的線段，通過截長補短可以把分散的條件相對集中起來，以便構造全等三角形。

【例題 8】如圖 8，在 △ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.

圖 8 - 1

求證：AB = AC + CD.

分析：從結論分析，「截長」 或 「補短」 都可實現問題的轉化，即延長 AC 至 E 使 CE = CD，

圖 8 - 2

來證明 △ADB ≌ △ADE（AAS）.

或在 AB上截取 AF = AC，來證明 △ADF ≌ △ADC（SAS）,

圖 8 - 3

AB = AF + FB = AF + FD = AC + CD .

證明：略.

九、利用 「一線三等角」 模型構造全等三角形證明全等

所謂 「一線三等角」 是指一條直線上有三個相等角，如果有一組邊對應相等則可以構造全等三角形.

類型一：直角三角形中的 「一線三等角」 模型

【例題 9】如圖 9，在 △ABC 中，∠B = 90°，CD⊥AC，過點 D 作 DE⊥BC 交 BC 延長線於點 E，且 AC = CD ，

圖 9

求證：△ABC ≌ △CED.

證明：

∵ DE⊥BC，CD⊥AC，

∴ ∠DEC = 90°，∠ACD = 90°，

∵ ∠A + ∠ACB = 90°，∠ACB + ∠DCE = 180° - ∠ACD = 90°，

∴ ∠A = ∠DCE，

∵ ∠B = ∠E = 90°，AC = CD , ∠A = ∠DCE，

∴ △ABC ≌ △CED（AAS）.

類型二：等腰三角形中底邊上的 「一線三等角」 模型

【例題 10】如圖 10，在 △ABC 中， AB = AC，點 D、E 分別在 AB、BC 上，作 ∠DEF = ∠B，射線 EF 交線段 AC 於點 F，若 DE = EF,

圖 10

求證：△DBE ≌ △ECF.

證明：

∵ AB = AC ,

∴ ∠B = ∠C，

∵ ∠BED = 180° - ∠DEF - ∠FEC，∠CFE = 180° - ∠C - ∠FEC，

又 ∵ ∠DEF = ∠B = ∠C，

∴ ∠BED = ∠CFE，

∵ DE = EF，∠B = ∠C， ∠BED = ∠CFE，

∴ △DBE ≌ △ECF（AAS）.