初中八年級幾何全等三角形——截長補短法證明線段和差問題

全等三角形——截長補短法證明線段和差問題

對於初中八年級同學來說，幾何已經不單純的是畫平行線，了解三角形的一些基本特徵就可以了。之所以說初二難，主要就是初二幾何難度在加深，要求同學們要轉變思維方式。在解答證明幾何題時，要能根據定理定律去完善條件，這就需要我們要能根據定理分析解決問題。所以要學好初二數學，必須要學會做輔助線，創造完善條件，來證明。今天就以——截長補短法輔助線的做法來進行示例

截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的種思想。截長就是在一長邊上截取一段等於某條短邊，補短就是在一條短邊上延長，使其等於最長邊。

「截長補短法」是證明「線段和差問題」最常用的方法，經常依據角平分線構造軸對稱的全等三角形，從而達到證明的目的。(下面是小學學習過的知識，都可以應用的。)

***等腰三角形兩個底角相等;有兩邊角相等三角形是等腰三角形。

·.·∠B＝∠C ·.·AB=AC

.·.AB=AC .·.∠B＝∠C

例題2:如圖，△ABC中AC＞AB，∠ABC＝2∠ACB，AD平分∠BAC交BC於點D.求證:AB+BD＝AC.

思路分析:這個題目是典型的「線段和差問題」，常用「截長補短法」，其實是「截長法或補短法」.

【方法1】「截長法」指的是在長線段AC上截取AM使得AM＝AB(而不能使AM＝BD)，依託「角平分線」構造「軸對稱的全等三角形」，再證明MC＝BD即可

【方法2】「補短法」指的是將短線段AB(而不能是BD)延長到N使得AN＝AC，構造「軸對稱的全等三角形」，再證明線段BN=BD即可.

證明:【方法一】「截長」

在線段AC上截取AM使得AM＝AB，連接DM延長AB到

·.·AB＝AM，∠BAD＝∠MAD，AD＝AD

∴△ABD≌△AMD(SAS)

.·.BD＝MD，∠ABD＝∠AMD

又·.·∠AMD＝∠MDC+∠C，∠ABC=2∠C

.·.∠MDC＝∠C

.·.DM＝MC，則BD＝MC

又·.·AC＝ AM+MC，AM＝AB

.·.AC＝AB+BD

【方法二】「補短」

延長AB到N使得AN＝AC，連接ND

·.·AC＝AN，∠CAD＝∠NAD，AD＝AD

∴△AND≌△ACD(SAS)

∴∠N＝∠C

又·.·∠ABC＝∠N+∠BDN，∠ABC＝2∠C

∴∠N＝∠BDN，則BD＝ND

又·.·AN＝AB+BN，AN＝AC

∴AC=AB+BD