本講首先來介紹截長補短法．主要涉及兩個經典模型．
截長補短法分為截長法和補短法，主要用於證明線段和差問題，如求一條較長線段的長度等於兩條較短線段的長度之和．
截長法：將較長的線段截取為兩段，證明截取的兩段分別與給出的兩段相等．
補短法：延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等．
分析：
本題是典型的線段和差問題，有角平分線，則對應角已經相等，且角平分線可以作為公共邊，自然想到截長法．
分析：
本題還可以用補短法，且輔助線作法不唯一，如延長BE，CD交於點G．但在此選擇更符合實際情況的「補短」法．
特別提醒：
在用補短法證明∠4＝∠G時，有學生會藉助AB∥CD，得內錯角相等，但在這是行不通的，因為此時還未證明B、E、G三點共線．需要通過∠1＋∠3＝90°，由∠CEG＝∠CEB＝90°得到．
分析：
本題依然是一個線段和差問題，我們可以嘗試截長法，補短法，在此分別展示．
小結：
以上兩題，我們都用截長補短法進行了證明．但是在補短法時，第二次旋轉型的全等或不太直觀，或在證明相等元素時容易出錯．
因此，當題目出現雙角平分線模型時，一般多用截長法，兩次構造翻折型全等．
認識模型：
首先，讓我們對半角模型有一個初步的認識．
半角模型是指符合
有公共頂點，
銳角等於較大角的一半，
且組成較大角的兩邊相等，
等基本條件的模型．
常通過旋轉或翻折，將角的倍數關係轉化為角的相等關係，構造全等(相似)三角形來解決．
分析：
本題是最經典的半角模型．若連接BD，其引申的結論由許多，今後會作進一步研究．這裡選取的是其中的第一個結論，還是線段和差問題．
我們先嘗試截長法，如在EF上截取EG＝EB，連接AG，但此時缺乏角平分線，無法證明角等的條件，無法完成．只能選擇補短法，但能說延長EB，使EG與EF相等嗎？還是不能！因為還是缺乏角平分線．只能使BG＝DF．
我們再來看一個例1的變式，還是半角模型，依舊可以使用補短法來解決．
小結：
以上兩題均為半角模型．我們採用了補短法，當然從更高的觀點上，由於這裡有「等線段，共端點」，今後也可以利用旋轉構造「手拉手模型」來完成．
目前來看，當題目中出現半角模型，一般多用補短法，先構造旋轉型全等，再構造翻折型全等．
本文轉自公眾號：積餘鼎尖數學教學，作者：張鼎文老師。
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