全等三角形：性質、判定與解題方法

一、三角形全等的判定

1.三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)。

2.有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)。

3.有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)。

4.有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)。

5.直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性質

①全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。

②全等三角形的周長、面積相等。

③全等三角形的對應邊上的高對應相等。

④全等三角形的對應角的角平分線相等。

⑤全等三角形的對應邊上的中線相等。

三、找全等三角形的方法

(1)可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；

(2)可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；

(3)從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。

三角形全等的證明中包含兩個要素：邊和角。

缺個角的條件：

缺條邊的條件：

四、構造輔助線的常用方法

1.關於角平分線的輔助線

當題目的條件中出現角平分線時，要想到根據角平分線的性質構造輔助線。

角平分線具有兩條性質：

①角平分線具有對稱性；

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

關於角平分線常用的輔助線方法：

(1)截取構全等

如下左圖所示，OC是∠AOB的角平分線，D為OC上一點，F為OB上一點，若在OA上取一點E，使得OE=OF，並連接DE，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創造了條件。

例：如上右圖所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。提示：在BC上取一點F使得BF=BA，連結EF。

(2)角分線上點向角兩邊作垂線構全等

利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。如下左圖所示，過∠AOB的平分線OC上一點D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。

則有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右圖所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180

(3)作角平分線的垂線構造等腰三角形

如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得一個等腰三角形（△OEF），垂足為底邊上的中點D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。

如果題目中有垂直於角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個等腰三角形，可總結為：「延分垂，等腰歸」。

例：如上右圖所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD於D，H是BC中點。求證：DH=（AB-AC）

提示：延長CD交AB於點E，則可得全等三角形。問題可證。

(4)作平行線構造等腰三角形

作平行線構造等腰三角形分為以下兩種情況：

①如下左圖所示，過角平分線OC上的一點E作角的一邊OA的平行線DE，從而構造等腰三角形ODE。

②如下右圖所示，通過角一邊OB上的點D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交於點H，從而構造等腰三角形ODH。

2.由線段和差想到的輔助線

(1)遇到求證一條線段等於另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：

①截長：在長線段中截取一段等於另兩條中的一條，然後證明剩下部分等於另一條；

②補短：將一條短線段延長，延長部分等於另一條短線段，然後證明新線段等於長線段。

截長補短法作輔助線。

在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求證：AB＝AC＋CD。

因為AD是∠BAC的角平分線 所以∠BAD=∠CAD

在AB上作AE=AC 又AD=AD

由SAS得：△EAD≌△CAD 所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

又因為∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B

所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA

=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）=∠B

所以△BED為等腰三角形

所以EB=ED=CD

所以AB=AE+EB=AC+CD

(2)對於證明有關線段和差的不等式，通常會聯繫到三角形中兩線段之和大於第三邊、之差小於第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

在利用三角形三邊關係證明線段不等關係時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關係證明。

例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

（法1）證明：將DE兩邊延長分別交AB、AC 於M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法2）如圖1-2， 延長BD交 AC於F，延長CE交BF於G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形兩邊之和大於第三邊） （1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2）

DG＋GE＞DE（同上） （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

(3)在利用三角形的外角大於任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處於這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。

分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯繫，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處於在外角的位置，∠BAC處於在內角的位置。

證法一：延長BD交AC於點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，

∴∠BDC＞∠BAC

證法二：連接AD，並延長交BC於F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關係時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。

3.由中點想到的輔助線

在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那麼首先應該聯想到三角形的中線加倍延長中線及其相關性質（等腰三角形底邊中線性質），然後通過探索，找到解決問題的方法。

(1)中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形

即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因為ΔABD與ΔACD是等底同高的）。

例1 如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

(2)倍長中線

已知中點、中線問題應想到倍長中線，由中線的性質可知，一條中線將中點所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E，使得AD=AE，連結BE。

例3 如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC於F．求證：DF=EF．

過H作HD‖AC交BC於H

則∠HDF=∠E,∠DHB=∠ACB

又∵AB=AC ∴∠B=∠ACB

∴∠DHB=∠B ∴DH=DB=CE

∵DH=CE,∠HDF=∠E,∠DFH=∠CFE

∴△HDF≌△CEF ∴DF=EF

4.其他輔助線做法

(1)延長已知邊構造三角形

在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關係，有助於問題的解決．

例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．

延長AD、BC交於F,

∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,

∴∠DAE=∠CBE,

又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,

∴△ACF≌△BCE, ∴BE=AF,

∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,

∴△ABD≌△FBD, ∴AD=FD=1/2AF, AD為a ∴BE=2a

(2)連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。

例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形全等來解決。

(3)連接已知點，構造全等三角形

例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交於O點，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。

分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。

(4)取線段中點構造全等三角形

例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求證：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問題得證。