全等三角形專題——通過90°,180°找相等角證全等

為何要通過90°,180°找等角證全等

證三角形全等，主要是找3對全等，有時候題目會給1對等邊，這時候我們就要找2對等角。因為垂直，就多了一對等角，因為A+B=C+B=90°，就會有A=C的關係，這樣又多了一對角。2對角+1對邊，全等自然有了。

為什麼是90°,180°，不是60°,120°，那是因為90°是垂直，180°是平角，是直線，90°和180°易得也易作，所以通過90°,180°就能容易證明全等。

圖1

如圖1：有3條垂線，一條直線MN，對於△ACD和△BEC,很容易通過角和180°，角和90°得出對應角相等。這時候，如果再給一對邊相等，比如AC=BC，那麼就能證明△ACD和△BEC全等。

這種圖形就是常說的「K」線圖、三垂圖，而在我看來，數學不需要這些花裡花哨的稱呼，所以我把這種圖形，或者模型，叫做：通過90°,180°找相等角證全等

然後做一些練習題，來體會一下，什麼叫做通過90°,180°找相等角證全等。

練習題一

已知，AD⊥ MN,BE⊥ MN,AC⊥ BC, AC=BC證明△ACD≌△CBE,

證明思路：

已知，AD⊥ MN，可得∠DAC+∠DCA = 90°，AC⊥ BC可得∠ECB+∠DCA= 90°，所以∠ECB=

∠DCA，又因為AC=BC，根據AAS可以證明△ACD≌△CBE。

利用了三角形三角和為180°，一隻角為 90°，那麼另外兩角和為 90°。也利用了平角和為 180°，其中一隻角為 90°，那麼另外兩角和為 90°。所有的關係都是通過90°和180°得到的，這就是證明全等過程中最重要的環節。

例題二

已知，AD⊥ MN,BE⊥ MN,AC⊥ BC, AC=BC，證明DE=AD-BE

證明思路：

要證DE=AD-BE，就得想辦法把它們整到一條線、一個三角形或者一對全等三角形中。那麼，問題就變成了如果AD=CN=CD+DN,CD=BN,我們就可以證明它們的關係。所以想辦法證明，△ADC≌△CEB。

三個垂線就有3個直角，可以得出∠ADC=∠CNB,AC=BC，一角一邊已在，再找一角或一邊，很顯然這裡我們要找角。

因為∠CAD+∠ACD=90°,∠BCN+∠ACD=90°,可得∠CAD=∠BCE，另一對已經找到，那就可以通過AAS證明，△ADC≌△CEB，也可以得到，AD=CD+DE=BE+DE,即DE=AD-BE

例題三：

在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延長線於點D，作AE//BD、CE⊥AC，且AE、CE相交於點E，求證AD=CE。

證明思路：

要證AD=CE很自然得想到即證△ABD≌△CAE，然後找邊，找角。

AD⊥AB，CE⊥AC可得∠BAD=∠ACE,又因為AB=AC，再找一對角就行。

因為AE//BD，可得∠E=∠ECD，而AB=AC可得∠B=∠ACB,AB垂直AD可得∠B+∠D=90°,AC垂直CE可得∠ACB+∠ECD=90°,三個等式就可以得出∠D=∠ECD,最後得出∠E=∠D,根據AAS證明△ABD≌△CAE，所以AD=CE。

通過三角形和為180°，其中一對角相等，一對角是對頂角也相等，就可以得到，∠D=∠E，然後根據AAS證得△ABD≌△CAE，即AD=CE。

總結：這個例題沒有三垂線，但是多了一個條件平行，我們通過平行，通過三角形內角和為180°依然得出一對等角，所以藉助90°,180°能讓解題更輕鬆。

例題四：

△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC於點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

(1)求證：BE＝CF；

(2)在AB上取一點M，使BM＝2DE，連接MC，交AD於點N，連接ME.

求證：①ME⊥BC；②DE＝DN.

證明思路：

（1）AB=AC和AD⊥BC可以得出∠B=∠ACB=45°,FC⊥BC,又能得出∠ACF=45°,通過垂直， 兩角和為90°，也能得出∠BAE=∠CAF,根據AAS，可以證得△ABE≌△ACF，所以BE＝CF

（2）①要證①ME⊥BC，得想辦法證明∠BEM=∠DEM=90°,或者ME//AD或者其他。但是不能直接得到這些結論，所以從條件著手。

AE平分∠BAD，AD⊥BC，條件反射，做EG⊥AB，可得GE=ED，也很容易得出∠BEG=90°-45°=45°,所以△BEG是等腰直角三角形（注意這裡的等腰是2個45°得出的,），那麼BG=GE=DE

因為BM＝2DE，所以GM=2DE-BG=GE，所以△MEG是等腰直角三角形，所以∠GEM=45°,所以∠BEM=45°+45°=90°，即ME⊥BC

②要證DE＝DN,其實很容易想到證明△AED≌CND,AD=DC和垂直得到直角，所以只要再找一對角就行，這裡選擇找∠EAD=∠NCD,為什麼？因為角在直角中，可以用題目中的相關條件。當然，如果不行，再考慮其他角。

要證∠EAD=∠NCD，如果AE⊥MC我們就能輕易證明，但是題目沒給這個條件，那麼就要想其他辦法。

細想一下，通過之前的證明，我們都找出好多90°，45°角，那麼嘗試一下能否把要證明的角算出來。AE平分∠BAD,∠BAD=45°,所以∠EAD=22.5°,但是∠NCD還是很難求。

繼續思考，如果MC平分∠ACB，那麼以∠EAD就是45°的一半，就可求了。突然發現，要證明△ACM≌ECM(已有公共邊和一對直角),需要一對角或者一條邊，等角好像找不到，那就找邊。感覺AC=EC，如果相等，也就是∠AED=∠EAC，然而∠AED=90°-22.5°=67.5°，同理：EAC=90°-22.5°=67.5°，居然通過兩個67.5°得到AC=EC，然後得到△ACM≌ECM（HL），所以MC平分∠ACB，即∠NCD=22.5°

然後再得出△AED≌CND，最後證明DE＝DN

總結：例題四是很好的題，把通過90°,180°找相等角這個方法展現的淋漓盡致，不但有90°-45°=45°找等角，甚至還有90°-22.5°=67.5°找等角，找等邊。做明白這個題，也就明白了通過90°,180°找相等角證全等的精髓。

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