今天，我們一起做個遊戲。
取一張紙條，將紙條的一端扭轉半圈，然後將兩端粘貼起來，形成一個環形。接下來，拿出一支鉛筆，沿著這個環形帶的中央畫一條線。
你發現了什麼？
是的，這條線沿著紙的一面跑到了另一面。這種帶子就是所謂的莫比烏斯帶。其實，將紙的一端扭轉3個、5個、7個，或者任意奇數個半圈，都會看到相同的現象。
你能夠從紙的一面不知不覺抵達另一面，而不用戳破這張紙，是因為你將這張紙變成了一個單面物體。然後，就像在埃舍爾的木版畫《莫比烏斯帶II》中一樣，紅色的螞蟻可以優雅地沿著莫比烏斯帶爬行，無休無止。
莫比烏斯帶II | M. C. Escher
遊戲還沒有結束。
再拿出一把剪刀，沿著你剛才畫的線將莫比烏斯帶剪開。你得到兩條更窄的莫比烏斯帶了嗎？
並沒有。出現的是一條更細卻更長的雙面環形，你再也無法連續地從紙的一面跑到另一面了。如果你手頭沒有一張紙、一支筆，或者你只是懶得做，沒有關係，你可以在頭腦中做「假想實驗」。或者，凝視下面這張埃舍爾的《莫比烏斯帶I》，想像一條莫比烏斯帶沿著中心線被切割時，會發生什麼。
莫比烏斯帶I | M. C. Escher
此刻，你可能覺得莫比烏斯帶視覺上看來真是頗為酷炫啊。然而，莫比烏斯帶最重要的影響卻是在數學領域，它推動了整個拓撲學領域的發展。
拓撲學是什麼呢？
貓君說：「拓撲就是，無論我變成什麼形狀，你都要認識我。」
貓的拓撲結構。 來源：Fei-fei Li
科學而嚴肅的說法是，拓撲研究的是當物體被移動、彎曲、拉伸、扭轉，但是不能切割或黏合不同部分時，那些保持不變的特性。就像咖啡杯和甜甜圈一樣，它們都只有一個孔，可以通過拉伸、彎曲，將一個變形成另一個。也就是，它們具有相同的拓撲結構。
咖啡杯和甜甜圈具有相同的拓撲結構。 圖片：Wikipedia
一個物體的孔的數量只有在切割、黏合時才會改變，這種特性在數學上被稱為「虧格」（genus），也就是相對於渾然的球面缺失的部分。完好無損的球面，虧格為0；有一個孔的圓環面（如甜甜圈），虧格為1；有兩個孔的表面（如剪刀），虧格為2，以此類推。
不同虧格的拓撲結構。 圖片：Wikipedia
所以，每一次你多打一個耳洞，你身體的拓撲結構都會發生根本改變，因為它的虧格增加了。然而，如果你不這麼傷害自己的話，就會發現，無論是蘑菇、大樹，還是蜻蜓、犀牛，它們的拓撲結構可以說都是相同的，大概是因為所有的生命都是由一隻細胞逐漸長成的吧。
然而，不幸的是，一個莫比烏斯帶和一個普通的雙面環形似乎都有一個孔，從拓撲角度看來，虧格這種特性無法區分它們。它們的不同究竟在哪裡呢？
我們再來做個遊戲。觀察下面這個沿著莫比烏斯帶爬行的螃蟹，當它轉過一整圈後，強壯的似乎是左螯（大鉗子），但是再轉過一整圈後，強壯的似乎變成了右螯。
莫比烏斯帶上的螃蟹爬行一圈後，與之前左右顛倒。 圖片：Hamishtodd1, Wikipedia
想像自己生活的的世界就是這樣一個透明的莫比烏斯帶，並沿著這個表面散步，假設在你出發的地方有一行文字，那麼，當你散步一圈回到原來的位置時，會發現這行文字變成了它的鏡像，原本從左向右閱讀的文字如今不得不從右向左閱讀。
在雙面環形上，無論走到哪裡，這行文字都是從左到右書寫的。將莫比烏斯帶與雙面環形區別開來的這種特性，被稱為可定向性（orientability）：莫比烏斯帶是不可定向的，而雙面環形是可定向的。與孔的數量一樣，物體的可定向性也只能通過切割或黏合來改變。從是否可定向的角度看來，莫比烏斯帶與雙面環形的拓撲結構是不同的。
可定向性的概念具有重要意義。比如說化學上的對映異構體，它們的化學結構完全相同，除了一個關鍵的區別：它們互為鏡像。例如，化學物質左旋甲基苯丙胺是一些非處方（OTC）鼻腔去阻塞吸入劑的活性成分，而右旋甲基苯丙胺則是一種非法毒品，其對精神方面的影響是左旋甲基苯丙胺的5至6倍。
鏡像對稱的兩種化學物質藥效相差甚遠。 圖片：Molecule of the Da
莫比烏斯帶為研究自然世界開闢了新的道路，拓撲學的研究不斷取得驚人的成果（進一步閱讀《拓撲學家分不清咖啡杯和甜甜圈？》）。2016年，諾貝爾物理學獎授予了在拓撲相變和拓撲相領域做出傑出貢獻的科學家（詳見：《歡迎來到奇異物質的量子世界》）；2017年，拓撲學引領科學家發現了奇異的新物態[3]；2018年的菲爾茲獎授予了Akshay Venkatesh，因為他將拓撲學與數論等其他領域結合了起來（《探索數論邊界的先鋒》）。甚至在日常生活中，塑料瓶背面的可回收標記，也是一個莫比烏斯帶。
可回收標記。
1858年，德國數學家奧古斯特·莫比烏斯（August Mbius）發現了這種單面環形結構。（事實上，另一位名叫Johann Benedict Listing的數學家在幾個月前獨立發現了這種幾何結構，但是他直到1861年才發表了自己的工作成果。）當時，他在萊比錫大學擔任天文學和高等力學講座教授。莫比烏斯似乎是在研究多面體的幾何理論時邂逅了莫比烏斯帶。多面體是由頂點、邊和平面組成的立體圖形。
莫比烏斯未發表的作品中，幾種不同的莫比烏斯帶。
除了莫比烏斯帶，一種由兩個互相嵌套的正四面體形成的幾何結構被命名為莫比烏斯結構，莫比烏斯也是第一個將齊次坐標引入投影幾何的人。在英國數學家古德裡（Francis Guthrie）提出「是否只用四種顏色就能為所有地圖著色？」這個問題之前，莫比烏斯已經在思考一個類似的拓撲學問題。其實，他在天文學上也發表了重要的作品。
莫比烏斯的傳記作者Richard Baltze驚嘆於他的原創性，他寫道：「他的直覺、他為自己設定的問題、他找到的答案，都表現出一種非凡的獨創性，一種自然的原創性。他不慌不忙地，獨自靜靜地工作…… 不急不忙，沒有浮誇，也沒有傲慢，直到他心靈中的果實自然成熟。」
150年前的1868年9月26日，莫比烏斯去世。我們似乎仍然能夠從那些繪製的平面圖像中，感受到他發現莫比烏斯帶的靈感瞬間，那個瞬間，一顆遙遠的星辰閃爍了一下。
博科園-科學科普｜文：原理/principia168