電工基礎:RC電路的零狀態響應與全響應(42)

2020-12-12 技成培訓網

動態電路，對於大多數人而言，其難點在於微分方程的求解與理解，我上次就提到過，這些微分方程的過程其實我們不必要深究，但是我們要理解這個方程解的含義，例如上次所學的「RC電路的零輸入響應」中的積分常數，就是電容的初始電壓值。區別於RC電路的零輸入響應，我們這次接著學習RC電路的零狀態響應與全響應。

零狀態響應，是指電路在零初始狀態下(即儲能元件的初始能量為零)，僅由外加電源激勵所產生的電路響應。而零輸入響應是指動態電路中無外施激勵電源，輸入信號為零，僅由動態元件(電感元件或電容元件)的初始儲能所產生的響應。

圖42-1

上圖42-1所示RC串聯電路，開關K閉合前電路處於零初始狀態，也就是電容電壓為零，uC(0-)=0。在t=0時刻，開關K閉合，電路接入直流電壓源US。根據迴路電壓列出KVL方程，可以得到，電阻電壓加上電容電壓等於電源電壓。

根據VCR：uR=iR、i=CduC/dt，代入KVL方程得到一階線性非齊次方程，如圖42-1所示。所謂非齊次，是指等號右邊不為零，而是等於US。區別於我們上次所學的RC電路的零輸入響應，即「所謂一階，是指方程中關於uC的導數是一階導數(duC/dt)，在電路中表現為僅含一個儲能元件或可等效為一個儲能元件的電路；齊次在這裡指的是等號右邊為零。」

一階線性非齊次方程的求解，我們直接套用公式，由特解和對應的齊次方程的通解兩個分量組成，如圖42-2所示。

圖42-2

所謂方程的通解，不同的微分方程具有不同的形式，例如我們上次學習中遇到的一階齊次微分方程，方程的通解為uC =Aept。這是因為對於一個微分方程而言，其解往往不止一個，而是有一組，可以表示這一組中所有解或者部分解的統一形式，就稱為通解。而特解是這個方程的所有解當中的某一個，為已知數。

圖42-3

我們求解圖42-2中的方程，先求其特解，如圖42-3所示，特解的求解相對簡單，因為它是一個已知數，直接代入方程即可。常數的微分為零，求出特解即為US;而齊次方程的通解，我們在上一次也已經學習過，結合時間常數τ，可以得出特解的公式。最後得出非齊次方程的通解如圖42-3所示。

現在通解公式中只有一個未知數A,我們代入電容電壓t=0 時的初始值uC(0 )=uC(0-)=0，可以求出A=-US。為什麼代入初始值呢？曹老師在《電工基礎》中也提到，求積分常數A時，可以找t等於某一時刻時的電容電壓值代入通解公式，比較容易計算的時間有t=0 時刻和t=∞時刻，那為什麼不是選t=∞呢？這是因為t=∞時，Ae-t/τ趨於零，此時計算A無意義。

圖42-4

最終，我們就可以得到RC電路的零狀態響應的電容電壓、電路電流的解如圖42-4所示。畫出電容定壓和電流的變化規律，可以看到，電容電壓uC以指數形式趨近於它的最終恆定值US，當電容電壓達到恆定值US後，電壓和電流不再變化，此時電容相當於開路，電流為零。

此時電路達到穩定狀態，簡稱穩態，所以把電容電壓的特解部分稱為穩態分量，對應齊次方程的通解部分稱為暫態(瞬態)分量。

結合我們上次所學的RC電路的零輸入響應，可以得出，暫態分量按指數規律衰減，其變化規律取決於特徵根(或者說取決於時間常數τ)。

知道了RC電路的零輸入響應與零狀態響應，接下來學習RC電路的全響應就簡單多了。所謂全響應是指當一個非零初始狀態的一階電路(只有一個動態元件)受到外電源激勵時，電路的響應。圖42-5所示RC串聯電路，電容在換路前已充有一定能量，其電壓為U0。

圖42-5

顯然，RC串聯電路的全響應和零狀態響應之間只差了一個初始值。全響應的方程解如圖42-5所示，和圖42-4相比較，可以發現，當圖42-5中的U0=0時，就變成了圖42-4中的結果。其實從另一個角度思考，根據疊加定理，全響應的解恰好是的等於零輸入響應的解 零狀態響應的解。

圖42-6

如圖42-6所示，全響應可以分解為零狀態響應和零輸入響應，也可以分解為瞬態分量和穩態分量，但不管怎麼分解，都不過是從不同角度去分析全響應的。簡而言之，全響應總是由初始值、特解和時間常數三個要素決定的。所以可以利用三要素法求解一階線性電路微分方程。

在直流電源激勵下，若一階動態電路的初始值為f(0 )，特解為穩態解f(∞)，時間常數為τ，則全響應如圖42-7所示。只要知道f(0 )、f(∞)和τ這三個要素，就可以根據圖42-7的式子直接寫出直流激勵下一階電路的全響應。

圖42-7

RC電路的零狀態響應曲線的起點是零點，類似的，全響應的曲線又是怎樣的呢？大家可以自行思考，嘗試畫一下。

利用三要素法求解RC電路的全響應，主要是計算三要素，初始值我們之間也已經學過了，時間常數完全取決於電路的R和C，電阻的計算可以通過電阻的等效變換計算，最後是穩態值，因為電路達到穩態時電容相當於開路，根據這個特性可以很快地算出穩態值。

RC動態電路的響應，我們也已經學完了，在《電工基礎》課程中，曹老師還詳細地講解了幾道習題，希望大家有機會就同聽一下。我們下次繼續學習RL電路的各種相應。

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