一起探討數學背後充滿智慧的傳奇故事
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幾個世紀以來，人們對歐幾裡得幾何第五公理的質疑不絕於耳，不斷有人試圖從其他9 條公理出發證明第五公理，甚至還有人嘗試用一條更清晰、簡潔的假設來代替它。
當然，這些努力都沒有成功，而另一些幾何學家試圖回答一個令人困惑的猜想：「如果它 是假的呢？」這些嘗試開始激起人們心中的疑惑，甚至有人懷疑，歐幾裡得的公理到底真的是不證自明的，還只是基於經驗的。
最終，令人震驚的結論在19 世紀出現了：數學家發現，人們選擇另一條不同於歐幾裡得第五公理的公理，就可以建立一門全新的幾何學。
而且，那些「非歐」幾何學能像歐幾裡得幾何學那樣從原理上準確地描述物理空間。
讓我們在這裡暫停一下，先把「選擇」這個詞搞清楚。幾千年來，歐幾裡得幾何一直被視為獨一無二的，而且是必然如此的—— 它被認為是對空間唯一正確的描述。
然而，人們現在可以選擇公理並得到同樣正確的描述，這一事實讓大家對整個概念體系產生了濃厚興趣。仔細構建的推理體系似乎在一夜之間變成了一場遊戲，在這場遊戲中，公理不過是扮演了規則的角色。你可以改變公理來玩一場完全不同的遊戲。
不過，這種認知給理解數學本質帶來的巨大衝擊，超乎了人們的想像。許多富有想像力和創造力的數學家，為了給歐幾裡得幾何最後的一擊鋪平了道路。
其中值得特別關注的有基督教神父吉羅拉莫·薩凱裡，他深入研究了，如何用另一種不同形式的表述來代替第五公理；德國數學家喬治·克魯格，和約翰·海因裡希·朗伯，這兩人第一次意識到：歐幾裡得幾何可能會被其他幾何體系替代。
約翰·海因裡希·朗伯
除此之外，一些數學家為「歐幾裡得幾何是唯一一種宇宙空間表現形式」，這一思想的葬身之棺釘下了最後一顆釘子。
而這一榮譽應當由三位數學家來分享，他們一位來自俄羅斯，一位來自匈牙利，還有一位來自德國。
第一位公開發表論文，從整體上闡述這門全新幾何學的人，就是俄羅斯數學家：尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基。
尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基
這是一種建立在像馬鞍一樣的彎曲表面上的幾何。在這門幾何學中（今天我們稱為雙曲幾何），替代歐幾裡得第五公理的表述就成了如下的形式：
「在平面上給定一條直線和不在直線上的一點，經過該點至少能作出兩條與給定直線平行的平行線。」
羅巴切夫斯基幾何學與歐幾裡得幾何學還有一個重要的區別：在歐幾裡得幾何中，三角形的內角和總是180°（圖 6-4b），而在羅巴 切夫斯基幾何中，三角形的內角和總是小於180°（圖 6-4a）。
羅巴切夫斯基的學術觀點主要發表在《喀山公報》上，而這份雜誌在當時並不出名，所以他的理論完全沒有得到應有的重視。
而在此之前，匈牙利年輕的數學家鮑約·亞諾什並未看到羅巴切夫斯基的文章，也在1820 年左右，系統地闡述了與羅巴切夫斯基幾何類似的幾何學理論。
出於年輕人特有的激情，他在1823 年給父親的信中寫道：
「我發現了一些精美絕倫的東西，這讓我無比震驚……我從一片虛無中創造了一個全新的世界。」他的父親鮑約·法卡斯也是一名數學家，在1825年，亞諾什已經完成了研究，準備讓父親看看自己關於這門新幾何學的理論著作的草稿。
雖然年輕的亞諾什興高採烈，但他的父親卻不能確定這種理論是否正確。不過，法卡斯還是決定把兒子的新幾何，作為他本人的兩卷本著作的附錄一同出版——法卡斯的書以研究經典幾何、代數和分析學的基礎為主要內容。
鮑約·法卡斯
據說，這本書寫作手法十分有趣，書名就叫《為好學的年輕人所寫的關於數學基本原理的隨筆》。
該書出版後，法卡斯送給了一本給他的朋友高斯，而高斯不僅在當時就被認為是最傑出的數學家，並且被後世許多人推崇為，人類有史以來最偉大的數學家之一，足以和阿基米德與牛頓並肩。
高斯在1832 年 3 月 6 日給法卡斯回了信。不過，他的評論與年輕的亞諾什所期望的並不完全一樣。
「如果我一上來就說，我無法稱讚這本著作，您也許會感到十 分驚訝。但除此之外，我的確沒法再說別的了。這是因為如果我表揚它，就是在表揚我自己。
事實上，這本書的所有內容——您兒子的思想和他所得出的結論——與我的想法幾乎一模一樣。而在過去 的 30 或 35 年裡，這些想法一直佔據著我的一部分思考。所以我有些茫然無措。迄今為止，我從未把這些結論寫下來，而且我當時想，在我的有生之年都不會把它們拿出來發表。」
雖然法卡斯覺得高斯對亞諾什的評價很高，他認為高斯的讚揚 「令人欣喜」，但是，亞諾什卻因為自己的研究與高斯的思想完全相同而備受打擊，並從此之後徹底地消沉了。
高斯
毋庸置疑，高斯的確對非歐幾何進行了大量思考。
他在1799 年 9 月的一篇日記中寫道：「在幾何的原理方面，我們取得了非凡的成就。」接著，他在1813 年又提到：「關於平行線理論， 我們如今並不比歐幾裡得知道得更多。這是數學中讓人臉紅的一部分，它遲早會變成另一種完全不同的形式。」
幾年之後，高斯在 1817 年 4 月 28 日所寫的一封信中又講道：「我現在越來越確信，今 天的（歐幾裡得）幾何學的必然性並不能被證實。」
最終，高斯得出的結論：歐幾裡得幾何不能被視為普適的永恆真理，並且「不能把歐幾裡得幾何與算術相提並論（因為算術是先驗性的），但大致可以與力學相提並論」。
費爾迪南德·施韋卡特是一位法理學教授，他在1818 年或1819 年寫信告訴高斯，他也獨立得出了類似的結論。
由於高斯和施韋卡特都沒有公開發表過他們的觀點和結論，所以在傳統上，人們一直把發現非歐幾何的榮譽，歸於羅巴切夫斯基和鮑約·亞諾什——其實，這兩位絕不是非歐幾何的獨家「締造者。
雙曲幾何猶如晴天霹靂一般，打破了數學世界的沉寂，給歐幾裡得幾何學唯一的不可動搖的空間描述，帶來了沉重打擊。在高斯、羅巴切夫斯基和鮑約之前，歐幾裡得幾何長期以來一直被視為世界的本質。
然而，人類還可以選擇一套不同的公理，來構建一門完全不同的幾何。這一事實讓人們第一次開始懷疑，數學似乎是人類的發明，而不是獨立存在於人思維之外、等待人類去發現的真理。
同時，歐幾裡得幾何學與真實物理空間之間的直接關係也破裂了。 「數學是宇宙的語言」這一思想暴露出了致命的缺陷。
當高斯的一名學生波恩哈德·黎曼，證明雙曲幾何並不是非歐幾何的唯一形式時，歐幾裡得幾何學的優越地位變得更加岌岌可危了。
黎曼於1854 年6月10日在德國哥廷根做了一場演講，演講中處處閃耀著天才的思想火花。
上圖是後來公開發表的演講稿的第一頁
黎曼藉助「以幾何基礎為前提的猜想」表達了 自己的觀點。
黎曼一開始就說：「幾何學預先假設了空間的概念，並假定了構建空間的基本原理。但是，幾何對此僅給出了名稱上的定義，而這些概念和原理的本質說明是以公理的形式出現的。」
但他接著又指出：「那些預先假設之間的關係還不為人所知。我們看不出它們之間的任何聯繫是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能預先確定，它們之間是否可能存在聯繫。」
在各種可能的幾何學理論中，黎曼重點研究了橢圓面幾何。這是一門建立在橢圓體表面上的幾何理論（上圖6-4c）。
請注意，在這門幾何學中，兩點之間的最短距離並不是一條線段，而是大圓上的一段弧， 而這個圓的圓心恰好也是球心。
航空公司就是利用這一特性來確定飛行航線的，所以，從美國到歐洲的國際航班的飛行線路並不是我們在地圖上看到的直線，而是一段向北的大圓弧。
你可以很輕易地證明，任意這樣的兩段大圓弧都會在直徑的兩端相交。例如，地球上的任意兩條經線，在赤道附近看上去是平行的，實際上卻會在兩極相交。
在歐幾裡得幾何學中，經過直線外的一點只能作一條與該直線平行的平行線。
非歐幾何則不同，在雙曲幾何中，經過直線外的一點至少能作兩條與該直線平行的平行線。
而在橢圓面幾何中，連一條這樣的平行線也沒有。
黎曼把非歐幾何的概念推向了更為廣泛的天地——他把這類幾何引入三維、四維，甚至維度更高的空間曲面中。
最終，歐幾裡得幾何學對空間的感知竟然被證明是後天學來的，而不是直覺獲取的。
面對這些劇烈的變化，法國著名的數學家亨利·龐加萊提出，幾何的公理 「既不是綜合的先驗性直覺，也不是經驗事實。它們是約定俗成的。我們根據經驗事實做出選擇，而這種選擇是自由的」。
亨利·龐加萊
換句話說， 龐加萊僅把公理視為「偽裝的定義」。龐加萊的觀點不僅受到了上述非歐幾何思想的啟發，同時也受到了當時不斷湧現的其他新幾何的鼓舞。
很快，對歐幾裡得幾何缺點的深刻認識引起了數學家對數學基礎的普遍關注，特別是數學與邏輯之間的關係。我在這裡提一句：「公理是不證自明的」這一觀點已經動搖了。
雖然19 世紀的人們也見證了代數和分析領域的一些重大進展，但是，幾何學的發展對數學本質問題的影響是最深遠的。
以上內容，節選自著名科學家馬裡奧·利維奧的《最後的數學問題》。
毫無疑問，數學是複雜且重要的，畢竟現代科學發展的基石就是數學。然而時至今日，對於數學究竟是什麼，這樣一個看似簡單的問題，我們仍然無法回答。
從信奉「萬物皆數」的畢達哥拉斯，到剔除「我思，故我在」的笛卡爾，再到反對柏拉圖主義的阿蒂亞，在這本書中，利維奧通過對千百年來不斷演變的數學思想，以及數學家的傳奇人生進行梳理，嘗試著為我們澄清數學的本質。
那到底什麼才是數學的本質？它是人類的發明還是發現？我們常說數學能解釋宇宙萬物，但這種威力究竟從何而來？
點擊下方連結，讓我們一起看看，科學家利維奧的講解。