摘要：本文的目的是研究Zemax在何種程度上適合於非熱化分析。本文針對的研究問題是：Zemax和Ansys在材料的熱膨脹分析上有何不同？兩種方法對光學質量有何影響？在後焦距、光斑半徑和調製傳遞函數（MTF）方面量化兩種方法之間的差異。為了達到目標，使用了一個工作溫度在-40°C至110°C之間的物鏡。最初僅使用Zemax對物鏡進行評估。Zemax中考慮了每個光學表面的線性幾何擴展，但文中證明熱負載後不是找到變形幾何的最佳方法。第二種方法是在Ansys軟體中創建3D模型並執行有限元模擬。熱變化作為輸入數據，輸出為透鏡的變形幾何形狀。使用SigFit軟體，可以生成變形透鏡的新數學方程式，並將此數據導入Zemax，以開始新的光線追蹤。兩種情況下，鏡頭的新形狀和位置都不同，並且焦平面偏移的差異約為12％。 最大光斑半徑差為27％，MTF相對誤差高達16％。Zemax作為獨立軟體可以為光學設計師提供初步的參考。 但在驗證和詳細設計的最後階段，應首選Ansys和SigFit方法。
關鍵詞：光機械設計，無熱化，熱膨脹，Zemax，ANSYS，SigFit
1、 引言
光力學是物理學的一個分支，主要研究電磁輻射和機械系統之間的相互作用。機械系統包括光的傳播介質（如透鏡）以及用於固定和維持這些傳播介質的結構。在該方向上，光學機械工程師的任務是設計包含光學組件的結構，該過程通常從光學工程師提供的設計開始。最初，需要構想一個初步結構，以將透鏡保持在適當的軸向和徑向對準公差內。這種結構（在大多數情況下是鏡筒）必須設計成在指定的環境下保持光學性能和機械完整性。因為這些設備可能會在從太空到水下甚至在人體內部的真實世界環境中運行，因此光機械工程師需要藉助某些方法來補償惡劣環境的影響，例如溫度、衝擊和振動等。
溫度變化會改變焦點，並幹擾系統的對準。這種現象產生的原因是和光機械設計相關的某些材料特性諸如熱膨脹係數（CTE）、溫度折射率係數（dn / dT））與溫度密切相關。CTE代表材料隨溫度的幾何變化，它會導致光學表面的形狀發生變化。dn / dT的影響是由於焦距隨溫度變化，一旦溫度升高，正dn / dT就會減小鏡頭的焦距。當所設計的光學系統不受溫度幹擾時，即為無熱的。無熱的設計是通過採用多種不同的熱補償技術比如固有的、機械的和光學無熱來實現。
無熱化系統的光機械設計需要正確描述上述熱依賴性的模擬過程。由於收縮和膨脹會改變光學表面的光學處方，並且透鏡中的感應應力會導致雙折射和圖像退化，因此準確識別透鏡的膨脹機理是至關重要的。從這個意義上講，溫度變化後的機械變形取決於溫差、熱膨脹係數（CTE）、彈性模量和鏡片/鏡筒的幾何形狀。Zemax是光學工程師最常用的軟體，它考慮了與熱有關的特性，但是該軟體僅能分析dn / dT和CTE量。 由於其方程式中未考慮彈性模量，因此可能無法正確描述光學元件的膨脹或收縮。
本文的目的是研究Zemax在何種程度上適用於非熱化分析。本文針對的研究問題是：Zemax和Ansys在材料的熱膨脹配方上有何不同？ 兩種方法對光學質量有何影響？ 以及在後焦距、光斑半徑和調製傳遞函數（MTF）方面上量化兩種方法之間的差異。
2、 光學描述
為了評估上一章中提到的方法之間的差異，將熱光分析應用於工業光學設備的物鏡中。設備的工作原理基於飛行時間（TOF）傳感器。 該系統的光源是波長為905 nm的LED，因此無需考慮消色差。物鏡本身由四個均勻的非球面透鏡組成，透鏡由聚合材料製成，其孔徑為25 mm @ f /＃= 1,0，如圖1a所示。 這些鏡片是通過採用Zeonex®E48R材料注塑成型製造的，並具有抗反射塗層，可最大程度地減少雜散光。設計使用的半視場為27°，物鏡的環境工作溫度範圍為-40°C至110°C，意味著150°C的溫差。零應力溫度為25°C。
下一節中光學仿真的結果不考慮光學濾光片。 但是，Zemax的結果將始終顯示5個鏡片，10個光學表面和一個傳感器。如圖1b所示，探測器的保護玻璃由帶有兩個光學表面的附加透鏡（S9）表示，其材料為NB-K7玻璃。
圖1：a）物鏡。左邊的第一個紅色分量為905nm的濾光片。之後為四個透鏡，最後一個透鏡之後的PCB上有一個TOF傳感器。機械結構由許多沿不同方向擴展的套管組成，以隨著溫度變化將傳感器保持在所需的確切位置。B）在25°C下零應力配置中的光線追蹤，帶有表面標識（S1代表表面編號1，依此類推）
3. 研究方法
光學和光機械工程師可以使用多種不同的軟體來協助他們的設計任務。該軟體可以分為兩大類：經典的鏡頭設計軟體和照明套件。在經典的鏡片設計中，必須提供一種初始設計，包括：鏡片的形狀，大小和位置；系統的光圈；視場和使用的波長。然後程序會追蹤進入系統中的光線的路徑，並通過使用算法優化光學，直到滿足目標標準為止。常用軟體有OSLO，CODE V和Zemax（Optic Studio）。設計和優化系統時會使用到照明套件。例如預測太陽光對望遠鏡的影響。常用的軟體為ASAP，LightTools，TracePro和ZEMAX（Lens Mechanix）。為了回答第一章中提到的研究問題，本文僅關注鏡頭設計部分，使用的軟體為Zemax Optic Studio。
3.1 Zemax Optic Studio
Zemax中的熱建模功能可以對摺射率的變化以及因溫度變化而引起的部件的膨脹和收縮進行建模。從軟體處理的角度來看，Zemax通過一個稱為多配置編輯器的工具執行熱分析。 對於每種配置，定義了不同的溫度（在-40°C至110°C的範圍內）。因此，與熱相關的材料屬性對於每種配置都不同。
根據Kasarova 2016年的研究內容，Zeonex E48R的dn / dT為-1.26x10-4 K-1.6。在Zemax材料中進行仿真。該值是通過使用Sellmeier公式提供的係數a0到a7給出的。當波長為905 nm時，25°C下的Zeonex E48R折射率為1.5218。
熱膨脹係數也是材料的一個輸入項，它可以是恆定值或者是與溫度相關的變量。Zemax庫中提供了這種材料，其熱膨脹係數恆定為66x10-6 K-1。但是在Zemax中，不需要材料的彈性模量。 因此，為了模擬材料的膨脹或收縮，該軟體不考慮透鏡的體積，而是考慮其在光軸上的厚度來計算入射表面和出射表面的位置。根據Zemax用戶手冊中所述，當光學元件改變溫度時，尺寸的線性變化由以下公式給出
其中L』是膨脹後的鏡片厚度；L是鏡片的標稱厚度；α是熱膨脹係數；ΔT是溫差。 隨著材料的膨脹，曲率半徑也會發生變化。 因此，玻璃表面的厚度和半徑均隨溫度線性變化。線性的假設只是一個近似值，但是在設計初期由光學工程師執行是合理的。圖2為用Zemax計算的熱膨脹方案的一個示例。
圖2：Zemax中單個透鏡的熱膨脹。 粗線是參考溫度下的透鏡，虛線是熱膨脹後的透鏡。
這種用於評估固體熱膨脹的方法等效於用手工計算的分析方法。事實上，它非常適用於諸如立方體，球體或圓柱體之類的基本幾何實體。然而在透鏡的情況下，光軸方向上的厚度隨著其徑向位置而變化。為了更精確地評估膨脹後的鏡片形狀，一種更精準的方法是使用有限元分析（FEA）方法構建系統的機械模型和用於仿真的網格。在下一章中將會對Ansys軟體建模進行描述。
3.2 ANSYS
ANSYS Mechanical是用於結構分析的FEA工具，其中包括線性、非線性和動態研究。該仿真軟體提供了有限元分析法，可以對在特定負載下應用於給定幾何形狀的任何材料的行為進行建模。ANSYS Mechanical具有耦合物理功能，例如涉及熱結構分析，這也是本研究的一個重要出發點。因為研究人員試圖評估由於熱負荷膨脹後鏡片的變形幾何形狀。
使用Ansys的最大優勢在於不僅可以對光學系統建模，還可以同時對整合所有零件在一起所需的機械部件建模。通常這些零件並非全部由相同的材料製成，因此不同的熱膨脹可能會引起光學元件的應力和變形。以一個聚合物透鏡為例，該透鏡的αlens= 66x10-6 K-1和Elens = 2,5 GPa安裝在鋼製的鏡筒上，該鏡筒的αsteel= 12x10 -6 K-1且Esteel = 200 GPa。當溫度升高時，鏡片往往會比鏡筒膨脹更大，但是由於鋼的楊氏模量（Esteel）比聚合物高，因此鏡片的外徑幾乎沒有變化。然而透鏡內部的應力狀態以及光學表面的幾何形狀都會發生變化。具有不同材料的零件之間的這種相互作用現象表明，在非熱化的光機械任務中使用FEA至關重要。因為本文的目的是分析Zemax和Ansys之間的熱膨脹公式之間的差異，並且Zemax無法解決鏡片與鏡筒之間的相互作用，所以這兩個軟體中都將在沒有鏡筒的情況下模擬鏡片。
Ansys中的仿真是在熱應力配置中執行的，該配置將穩態熱分析關聯到一個靜態結構中。在此配置中，將熱負荷施加到模型，並將每個節點的最終溫度轉移到靜態結構系統上，以基於兩個材料屬性（熱膨脹係數和楊氏模量）計算變形的幾何形狀。
表1顯示了用於模擬的Zeonex E48R的線性機械性能。這些數據由材料供應商Zeon提供。
表1：Zoneex E48R在25°C時的線性機械性能。
分析中的幾何圖形以及生成的網格如圖3所示。
圖3：坐標軸的字母代表：A–軸向； R–徑向； T–切線。 A）分析中的鏡頭系統CAD模型。 B）從CAD模型生成的網格。
FEA中使用的網格由Ansys Mechanical的內部網格生成器引擎製作。它使用大小為5 mm的二次四面體元素，總共產生47130個元素和77744個節點。
該系統由兩個支架支撐。圓柱型支撐應用於圓柱外表面，允許徑向和軸向擴展，但不能沿切線方向旋轉。最後一個透鏡的後表面為無摩擦的支撐架（圖3中的紫色），意味著該表面的節點可以沿徑向移動，但不能沿軸向移動。
在穩態熱分析中，對於每種情況下所有節點都應使用均一的溫度。初始溫度對應於零應力配置，即25°C。評估熱膨脹/收縮的不同情況下的應用溫度為：-40°C; -30°C; -20°C; -10°C; 0°C; 10°C; 30°C; 40°C; 50°C; 60°C; 70°C; 80°C; 90°C; 100°C; 110°C。
將溫度應用於節點後，Ansys會自動將此溫度導入靜態結構分析。熱負荷是分析中唯一施加的負荷。模擬提供的輸出是變形的幾何形狀（位移）、每個透鏡的應力狀態（應力）以及每個透鏡的溫度（溫度）。但無法直接將變形的幾何圖形導入光學仿真軟Zemax。 因而，在中間步驟中有必要使用SigFit軟體。
3.3 SigFit
SigFit軟體將機械分析結果連接到光學分析性能的預測。在光學軟體中，光學是通過數學方程式描述的，該數學方程式用於生成曲面。但是，熱機械分析的結果與描述非連續介質的網格節點相關。為了將節點轉換為光學表面，SigFit使用多項式擬合方法，該方法可創建最適合每個節點位置的新表面。但是熱力學分析的結果與非連續介質的網格節點相關聯。為了將節點轉換為光學表面，SigFit使用多項式擬合方法，該方法可創建最適合每個節點位置的新表面。
在有限元模型中，需要對導入到SigFit中的輸出要求進行定義。通常設置位移、應力和溫度為輸入。由於模擬鏡頭時沒有鏡筒，因此材料中的應力可以忽略不計。而且通常沒有供應商提供的有關材料應力引起的折射率變化的數據。因而光學分析中不存在應力。在每種情況下，溫度都是均勻的，所以對於所有幾何形狀，折射率的溫度係數都是恆定的。每個節點的位移產生變形的曲面輸出，其中包括：最佳擬合剛性運動、最佳擬合多項式係數、以及最佳曲率半徑。對坐標系必須格外小心，以便在不同軟體坐標系中可以匹配。節點的位置和位移在局部圓柱坐標系中表示，要求SigFit將數據轉換為另一個局部頂點坐標系中。
多項式擬合僅針對每個鏡頭的入射和出射表面執行。因此必須正確識別有限元模型中的目標表面，並將其與光學軟體中的同一表面匹配。使用多項式多項式（包括Zernike多項式）對曲面進行多項式擬合。SigFit的輸出是Zemax的可讀宏文件，其中包含有關位移、溫度和應力的所有信息。
3.4光力學分析步驟
光學機械分析涉及不同物理學的模擬。本研究包含有光學、機械和熱分析。所有這些都是在不同的軟體中處理的，因此必須將數據從一個轉移到另一個中。從圖4中可以看出，光機械分析從Zemax開始，對光學表面數學定義。然後將這些轉換為.step文件格式，該格式為每個鏡頭生成一個固定的體積。再將該實體導入到ANSYS中，在其中創建網格。一旦執行了熱力學分析，就可以通過多項式擬合將變形的幾何形狀再次轉換為數學曲面。最後將這個新的表面定義導入Zemax以執行光學分析。
圖4：光機械分析步驟
在分析過程結束時應該具有以下幾種文件：光學表面的數學定義、step文件中鏡頭的固體體積、用於ANSYS熱力學模擬的網格、以及熱負荷後光學表面的新數學定義。實際上，所有這些相互轉換的文件格式都可能影響光學表面的最終幾何形狀。為了評估過程的魯棒性，對物鏡進行了光機械分析，但在0°C的熱分析中存在熱變化。這樣可以在程序前後比較數學方程式。為了評估網格大小是否會影響結果，生成了兩個網格，一個網格的元素大小為2mm，另一個網格的大小為1mm。從表2可以看出，對於2mm的元件尺寸，最大誤差出現在透鏡2的表面2中，值為0.897µm。此錯誤非常小，表明在各種文件格式之間進行所有轉換之後，仍然可以很好地描述幾何圖形。此外，兩個不同網格之間的誤差可以忽略不計。
表2：在軟體之間轉換文件後數學表面定義的錯誤
4 結果
可以通過使用多種不同的結果參數來進行目標性能的評估。在本研究中，選擇的是後焦平面隨溫度的變化、檢測器平面上光斑半徑的變化以及MTF。在本章的圖形中，介紹了正在分析的兩種方法的比較：作為獨立系統的Zemax或ANSYS，以及作為另一種方法的SigFit和Zemax。當僅使用Zemax評估材料膨脹時，圖表的標籤為「Zemax」。當使用ANSYS + SigFit + Zemax時，圖形的標籤為「SigFit」。
4.1焦平面
物鏡的焦平面隨溫度變化而移動。在設計階段，為了獲得一個無熱系統，非常關鍵的一點是找出溫度變化引起的焦平面的移動量，以便採取適當的糾正措施。對於要分析的光學系統，通過熱補償鏡筒進行消熱，該補償鏡筒會膨脹，從而允許檢測器在工作溫度範圍內聚焦。鏡筒材料的選擇取決於探測器的移動量。
圖5表示檢測器在整個溫度範圍內保持聚焦所需的位移量。可以看出，由於兩種曲線都沒有重疊，因此兩種方法之間存在顯著差異。總體而言，Zemax方法的偏移為0.79 mm，SigFit方法的偏移為0.89 mm。兩者之間的相對差異為11.7％。
兩條曲線在25°C相交表明該方法具有足夠的魯棒性，因為此時是零應力配置。如第3.4章所述，在光機械分析過程的開始和結束之間，在25°C時光學表面的誤差為0.897µm。此時可以看到該誤差足夠小，不會改變焦平面。
圖5：物鏡的最後一個透鏡與檢測器平面之間的絕對距離。就-40°C至110°C之間的總位移而言，相對誤差約為12％。
4.2點半徑
在探測器平面上測量光斑半徑的大小。探測器平面的放置距離來自上一小節中的研究。光點半逕取決於溫度和視場角，該數據包含在圖6中。
圖6：在不同溫度和不同視場角下的光斑半徑。 在110°C和23.38°的溫度下，最大相對誤差為27％。
同樣，兩種方法在25°C下的光斑半徑均相等。但是在最高和最低溫度下，光斑大小存在明顯差異，差異的量化見表3。從中可以看出，在-40°C時，光斑尺寸差異約為12％或13％。在另一個溫度極限110°C時，在23.38°磁場下相對誤差達到27％。
表3：兩種方法之間的光斑半徑的相對誤差（Zemax與SigFit）。
4.3調製傳遞函數
調製傳遞函數（MTF）是光機械系統的通用性能測試參數。對於許多光學系統，此測試是量化系統是否按要求運行的最佳方法。MTF測試可以在系統中的每個組件上或作為一個單元的系統執行。 在本研究中，目標單元在目標溫度範圍內進行測試。例如在-40°C，25°C和110°C，以及分別對應0°，13.5°，19.09°，23.38°和27°的視場角。檢測器上的最大空間頻率為5個周期/毫米。此值與像素的間距有關，其長度約為十分之一毫米。
圖7：物鏡在25°C，-40°C和110°C溫度下0°場的MTF。
圖8：物鏡在25°C，-40°C和110°C溫度下13.5°場的MTF。
圖9：在25°C，-40°C和110°C溫度下，物鏡在19.09°視野下的MTF。
圖10：在25°C，-40°C和110°C溫度下，物鏡在23.38°視野下的MTF。
圖11：物鏡在25°C，-40°C和110°C溫度下27°場的MTF。
如圖7至圖11所示，僅使用Zemax模擬時，目標的MTF與使用Ansys加SigFit模擬時的結果不匹配。實際上，對於25°C的零應力溫度，兩條曲線都是重疊的，這再次證明了該方法的魯棒性。表4匯總了所有評估情況下空間頻率為5個周期/毫米的調製相對誤差。
表4：對於5個周期/ mm的空間頻率，調製的相對誤差（Zemax與SigFit）。
對於-40°C的負溫度和切線MTF，可以看到相對誤差始終返回正值。另一方面，對於矢狀MTF，除0°場外，所有值均為負。在切向和矢狀MTF中，最大誤差為6.8％，且出現在0°場中。
對於110°C的正溫度和0°場，切向和矢狀MTF均返回相等的-11.9％負誤差。除13.5°處的切向MTF外，其餘所有場均返回正相對誤差。最大相對誤差為15.7％，發生在27°場的切向MTF。
5. 總結
在本文的各個章節中，比較和解釋了用於評估溫度梯度對物鏡光學質量影響的兩種不同方法之間的差異。這兩種方法分別是使用純Zemax以及使用Ansys計算熱膨脹，隨後在SigFit中進行後期處理，再將變形的幾何體導入Zemax。在本文中，第一種方法簡稱為Zemax，第二種方法稱為SigFit。通過比較焦平面偏移、光斑半徑和MTF的結果，可以對這兩種方法進行評估。
對於上述結果，在零應力溫度配置（25°C）下，Zemax和SigFit方法之間沒有差異。這證明使用SigFit的方法，使用多種軟體以及它們之間的文件轉換不會對結果產生負面影響。關於後焦平面偏移，SigFit方法是一種具有更大位移的方法，大約增加了12％。兩種方法之間的光斑半徑也不同。在-40°C下，最大光斑半徑差為13％，但110°C 、23.38°磁場下相對誤差達到27％。對於調製傳遞函數，最大誤差為15.7％，產生在110°C的27°磁場中。本研究中所使用的品質因數，不能完全揭示結果趨勢。例如在MTF中，對於特定的溫度和場，有一些結果在Zemax中具有更好的性能，但也有一些情況顯示較低的性能。同樣對於光斑半徑，在110°C且0°和13.5°的磁場下，SigFit的光斑半徑小於Zemax。但是，在110°以及19,09°，23.38°和27°的場上，光斑半徑更大。
使用Ansys進行熱膨脹後新幾何計算的方法在理論上更為穩健，因為它使用了更多的材料數據（例如Young Modulus），並使用了有限元網格進行計算。 另一方面，Zemax通過代數線性公式計算熱膨脹。Zemax幫助文件中指出：「線性假設只是一個近似值，但是是一個很合理的值」。
兩種方法的結果都大不相同，並且從光機械設計者的角度來看，使用Ansys和SigFit的方法更為準確，值得使用。儘管如此，如果將Zemax作為獨立軟體使用，則可以用作光學設計人員的初步設計構想。但是在驗證和詳細設計的最後階段，應首選包含Ansys和SigFit的方法。
為了正確驗證此處的結果，下一步工作必須進行一些實驗測量。從這個意義上講，考慮到本文是作者博士學位期間的研究結果，因此計劃在不久的將來測量目標的MTF。 將在-40°C，25°C和110°C的均勻溫度下對物鏡進行測量。 實驗數據的結果將揭示哪種方法（Zemax或SigFit）可以提供更接近實際的結果。
光學社區（www.optzmx.com）是光學技術交流綜合社區，歡迎大家註冊、交流探討！