數學證明的遊戲，發現暗藏在數字裡的真相

如果你看到了一篇關於數學的新聞報導，它大概率是這樣的內容：一位數學家「證明」了一些偉大而傑出的猜想。1995 年，報紙上盈千累萬的頭條都是關於安德魯·懷爾斯對費馬大定理的徹底證明。2006 年，特立獨行的俄羅斯數學家格裡戈裡·佩雷爾曼（Grigori Perelman）證明了數學中一個重要的未解決的問題—龐加萊猜想（Poincaré conjecture），這使他獲得了贏得百萬美元獎勵的權利。還有 6 個「千禧年大獎難題」，它們向數學家發起了挑戰：要想證明自己學科的猜想，即使有直覺也依然棘手。

「數學家工作的核心是證明。」 公理是關於數字和幾何的不言自明的真理，證明就是從公理開始的邏輯論證。通過分析公理，我們可以重新組合出關於數字和幾何確切的新的表達形式。然後，這些新發現可以構成新證明的基礎，而新證明反過來又將引導我們發現公理的更多邏輯結果。數學的發展就像一個有生命的生物體，從先前存在的形式向外不斷延伸開來。

人們常把數學證明比作下西洋棋或圍棋。公理是棋盤上棋子的起始位置，邏輯推理規則是決定棋子如何運動的參數，證明是棋子一步一步的運動軌跡。在下西洋棋時，每一步棋都可能有成千上萬種可能。例如，開局四步棋之後（黑白各兩步），在棋盤上，棋子的分布就已經有 71852 種可能了。通常，你不需要走幾步棋就能達到這樣的效果。對於圍棋來說，棋子分布可能性的數量更甚。

如果我把棋子隨機放在棋盤上，你可能會問，有沒有可能從初始狀態把棋一步一步走成這樣？換句話說，隨機擺在棋盤上的棋子位置，按照圍棋或是西洋棋的規則是可能的嗎？這類似於數學中的猜想，例如費馬大定理。費馬斷言當整數 n >2 時，關於 x、y、z 的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。這本身就是一個猜想。數學家所面臨的挑戰是需要證明得到這樣的結果是否符合數學本身的邏輯。費馬就是這樣把棋子擺在棋盤上，然後說：「我相信你一定能按照棋的規則，把棋一步步走成這樣。哈哈哈哈！」安德魯·懷爾斯和其他為證明費馬大定理而努力工作的數學家，就這樣確定了「棋子」一系列的移動，最後完成了費馬大定理指定的排列方式。

數學界的藝術之一就是找出這些猜想目標。許多數學家認為，提出正確的猜想比埋頭苦算更重要。要發現暗藏在數字裡的真相，需要對數學有異常靈敏的嗅覺。這往往就是數學家最具創造性和可以發揮高深莫測技能的地方。數學家只有一輩子都沉浸在數學的世界裡，才可能獲得關於數學猜想的靈敏嗅覺。這通常是一種不需要解釋的直覺和預感，是所有人夢寐以求的東西。

這就是計算機很難對猜想計算成功的原因之一。自上而下的算法像是一個醉漢在黑暗中跌跌撞撞：它有可能會隨機地溜達到一個「有趣的地方」（奇異點），但大多數時候，它的行動沒有重點、沒有方向，毫無價值。但是，如果算法基於人類數學家的經驗進行學習，這種自下而上的結構能否使算法發展出一種對奇異點的直覺呢？

數學家們是如何建立起這樣一種對奇異點的直覺的？這種直覺通常不是巧合—在你腦海裡往往有眾多案例支撐，或者說應該是存在某種模式的。但是，這種直覺往往稍縱即逝，所以證明出一個猜想是如此的難得和重要。有時，需要數年才能發現一種模式是錯誤的。我在自己的工作中對一個模式做了一個猜想，一個研究生花了十年的時間才證明了它是錯誤的。

圖右下角為利特爾伍德(1885.6.9－1977.9.6)，英國數學家，最為出名的是他和哈代長期的合作

關於錯誤猜想，我最喜歡的一個例子是 19 世紀偉大的數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯（Carl Friedrich Gauss）對質數的猜想。高斯認為 Li(x)–π(x)的值總是正的，而且是遞增的。所有的證據都表明高斯是對的。如果讓一臺計算機來解決這個問題，它將產生支持高斯猜想的數據。然而，1914 年李特爾伍德從理論上證明了事實正好相反（即存在 Li(x)小於(x)）。高斯的猜想是錯誤的，但證明他錯誤的這個數字大得驚人，比宇宙中原子的數量還多（即便這樣，我們也無法接近這個猜想的崩潰點）。

這就是所有猜想所面臨的問題：我們無法證明它們是真的，還是我們的直覺和現有的數據將我們引入了歧途。為了將那些未經證明的猜想與現已證明的定理聯繫起來，我們痴迷於嘗試建立起一系列數學運算。

究竟是什麼驅使人類去證明？人類創造數學的動機是什麼？編寫算法來給數學家製造更多的挑戰，這會成為我們探索數學領域的新動力嗎？數學的起源可以追溯到人類試圖理解自己所生活的環境，預測接下來會發生什麼，從而使我們更加適應環境，並選擇對我們有利的事物。可以說，數學是人類的一種生存行為（我在故我思）。

上文[遇見]經機械工業出版社授權節選自《天才與算法》, 作者馬庫斯·杜·索託伊。