阿基米德傳奇

 

阿基米德傳奇

本文選自山西教育出版社出版《數學傳奇》

   阿基米德公元前２８７年出生在義大利南端西西里島的敘拉古。從輩分講,他是歐幾裡德學生埃拉託塞和卡農的門生，１１歲起就

在當時希臘文化中心的亞歷山大城學習。他博覽群書，特別是鑽研了《幾何原本》，雄厚的基礎知識,嚴謹的思維方法和勤勉的創作精神

使他最終成為偉大的物理學家和天文學家,更成為世界無可爭辯的三大數學家之首（其他兩位是牛頓和高斯）。

1.「阿基米德來了,快跑！」

在第二次布匿戰爭中,羅馬人進攻敘拉古,阿基米德用自己的科學知識

保衛祖國,使弱小的敘拉古能夠與強大的羅馬軍隊對抗。在長達 3 年

的保衛戰中,阿基米德留下了太多的神話:

有人說,他根據自己發現的槓桿原理製造的飛石機使趾高氣揚的

羅馬軍隊死傷無數,一看見城頭上出現了類似機械的物品,就嚇得聞風

喪膽,甚至高呼:「阿基米德來了,快跑！」

有人說,他將全城的婦女兒童集中起來,每人拿著一面凹面鏡,利

用太陽的強大反射光集中到一艘艘羅馬戰船上,最終將其全部燒毀。

還有人說,氣急敗壞的羅馬人為了報復阿基米德,驅使大批奴隸推

著他們製造的攻城塔向敘拉古的城門逼近,而阿基米德卻不慌不忙地

指揮守城士兵利用弓箭射出無數帶著油脂的火球,燒得羅馬人鬼哭狼

嚎。

雖然這些傳說帶有神話色彩，到底有多大的真實性,人們無法考

究。但有兩點是無可爭辯的:

其一, 強大的羅馬軍團能夠很快地橫掃歐亞大陸,唯獨在弱小的

敘拉古城受阻,足足花費了 3 年時間。敘古拉雖然最終城破國亡,可是

起決定作用的並不是羅馬軍隊的強大,而是在守城的僱傭軍中出現了

叛徒。

其二,阿基米德的確是數學物理天才,運用他的豐富知識製造的守

城破敵器械起了重大作用。

如果不是因為阿基米德的智慧,敘拉古城別說抗爭 3 年,在強敵面

前,他們一個月也堅持不了。

所以知識就是力量,說「一個阿基米德勝過羅馬人的 5 個軍團」

是毫不為過的。

2.窮盡宇宙亦可數

阿基米德在他的著作《砂粒計算》中,提出了一個讓人匪夷所思

的觀點:雖然和寬廣的宇宙相比,一粒沙是多麼的渺小。但若將整個宇

宙填滿沙粒,他也能夠計算那些沙粒的多少。

須知,在 2000 多年前,人們的計數方法還非常落後,想表示一個

   稍微大些的數都十分困難。以那種能力去統計填滿宇宙的沙粒,無異

是異想天開,乃至於不少人稱他為「瘋子」。在古羅馬,最大的計數單位是「千」, 他們用 M 表示一千。「三千」則寫成「MMM」。這在當時已經是夠大的數了。可是後來比「千」大 得 多 的 數 不 斷 湧 現 . 例 如 為 了 表 示 萬 , 則 需 記 為

「MMMMMMMMMM」,也就是連寫 10 個「M」。那麼要表示 1000

萬,豈不是要連寫 1 萬個 M？如果填滿宇宙的沙粒真能夠計算出來,

用「M」去表述是不可想像的。

阿基米德解決了這個問題,他從當時已經引用的 「萬」開始，引

進新數「萬萬（億）」作為第二階單位，然後是「億億」（第三階單位），

「億億億」（第四階單位），等等，每階單位都是它前一階單位的 1

億倍。這樣,表示可能發現的一切大數就簡便多了。所以他敢於聲稱,

即使將整個宇宙填滿沙粒,如此巨大到不可想像的大數也能夠用他的

計數方法表示出來。

唯一需要更正的是,在阿基米德所處的時代,人們所知道的數,其

大小都是有限的,還不認識「無窮大」。拿現在的觀點看,宇宙是無限的,

所以不可能用有限大的數字來表示它。儘管如此,這種奇特的想像仍

然使他的同時代人咋舌。自他以後,人們再想表示任意大的數就不再

困難了。

3.一條公理「撬動地球」

阿基米德的一句膾炙人口的名言：「給我一個支點,我就能夠撬起

整個地球。」說出這麼出格的豪言壯語,他的底氣何在？依據是什麼？

在他的數學著作中,有一條由他提出,而被後人命名的「阿基米德

公理」：

對於任何正整數 a、b，如果 a<b，則必有自然數< span=""> n，使 n×a>b。</b，則必有自然數<>

這條公理的含義是：無論你給出一個多麼大的數,我們總能夠找

到一個整數比你說的數還要大。

所以地球再重,其重量也是有限的;我的力量再渺小,我總可以找

到一個充分大的整數 n,使得我力量的 n 倍超過整個地球之重。

宇宙的範圍不是很廣嗎？即使將整個宇宙填滿沙子,我們也能夠

找出比這些沙粒總數大得多的數。

敵人不是非常強大嗎?可是我的力量再弱小,我總有辦法將它 n

倍起來,使之超過敵人的力量。

還有一個有趣的傳說:敘拉古國王曾經為埃及國王修建成一艘巨

大的船。這船太重了,重到動員敘拉古全城人也無法將其推下水。可

是阿基米德利用槓桿原理和多個滑輪製造出一套奇妙的機械,他將一

根粗繩一頭連接戰船,一頭交到國王手中，這時國王只輕輕將那支粗

繩拉動,戰船就緩緩地滑入水中。這是完全可能的，根據阿基米德公

理,船再重,人的力量再小,總可以設法將人的力量 n 倍的釋放。當 n

足夠大時,人力的 n 倍就可超過船的重量。

所以, 弱小的阿基米德能夠讓敵人聞風喪膽;微不足道的個人力

量,不僅能夠駕馭地球,還可以傲視宇宙。一句話,阿基米德公理能夠無

盡地開發人的智慧與潛力。

 

物體的重心位置,始終是阿基米德研究的重點。可是誰能想到,阿

基米德正是潛心研究物體的重心才發現了槓桿原理。而一個幾何體的

重心所在,反過來又是通過槓桿原理發現的。

一條質量分布均勻的棍子（看成線段）其重心必定在這條線段的

中點,這就是槓桿原理。

三角形的重心在哪？

如圖 1,將 3 個質量均勻的小球依次

置於△ABC 的 3 個頂點。

由於線段 BC 的重心在其中點 D, 那麼

點 D 處相當置放了 2 個

同質量的小球,於是點 D 與點 A 處小球的質量比為 2：1.於是

線段 AD 的平衡點應該在 AG：GD=2：1 處。這就是說,點 G 將

△ABC 的中線 AD 劃分為 2：1。

同理,點 G 也將△ABC 的其他 2 條中線劃分為 2：1。

這就證明了三角形重心的性質：它將每條中線都分為 2 與 1 之

比。

如果將△ABC 置於平面直角坐標系中,並設其三頂點的坐標依次

為 A x , y ,B x , y ,C x , y ,根據上面的推理, △ABC 重心的坐標一

以上推導三角形重心定理的武器,也是槓桿原理。

如圖 2,將 4 個質量均勻的小球依次置於四面體 ABCD 的 4 個頂

 

 

點,△BCD 的重心為 G ,那麼點 G 相當於集中了 3 個質量均勻的小

球。於是點 A, G 處小球的質量比為 1：3，從而點 G 將線段 AG

劃分為 3：1。

我們稱 AG 為四面體 ABCD 的一條重心線,那麼四面體的重心性

1

質是：它將每條重心線都分為 3：1。如

果將四面體 ABCD 置於空間直角坐標

系中, 並設其四個頂點的坐標依次

為 A x , y , z , B x , y , z , C x , y , z ,

 根據上面的推理, 四面體

ABCD 重心的坐標一定是

以上推導四面體重心性質的武器,還是槓桿原理。

5.罪惡的屠刀

敘拉古保衛戰堅持了 3 年而終於城破被陷.指揮羅馬軍隊的馬塞

拉斯十分敬佩阿基米德的聰明才智，下令不許傷害他，還派一名士兵

去請他。

不幸的是這位士兵早就對阿基米德耿耿於懷,那是因為阿基米德

曾經給羅馬軍隊帶來巨大創傷.他也理解不了馬塞拉斯所說「請他」

的含義.所以當他找到阿基米德後,立即命令他趕快到他們統帥馬塞拉

斯那裡去。阿基米德並不知道城門已破，也沒有理會到底是誰在命令

他,而是繼續專心致志地研究他的幾何圖形。直到他發現那美麗的圖

 

 

形上忽然多了一條罪惡的黑影,回過頭來,才發現了那一群兇神惡煞的

羅馬士兵。終於他明白了,他已經國破家亡,沒有辦法繼續效力他親愛

的祖國,也沒有辦法給人類留下最後的遺產。於是淡淡地回答：「別慌,

待我證明完圖形中的原理再走。」

充滿仇恨的羅馬士兵一見那些圖形更是來氣。心想,我們吃你的

苦頭已經夠多了,你還想繼續設計對付我們的武器嗎？於是他一步跨

進阿基米德繪圖的沙盤,高高舉起屠刀,再次命令：「快走！」

阿基米德立即撲下身子,用全身護住沙盤,悽厲地高呼：「不要毀壞

我的圖形」。

羅馬士兵的憤怒到了極點：「你這個糟老頭竟敢不聽從我們的命

令？」不由分說,一劍刺透了阿基米德的胸膛,還踩壞了他用生命保衛

的圖形，人類有史以來最偉大的科學巨星就此隕落。

事後, 有人看到沙盤上遺留著不少殘缺的圓。人們不清楚的是,

這些圓到底隱藏著什麼樣的秘密？

既然這個人們未知的秘密值得阿基米德用生命去捍衛,那麼這些

圓的價值就非同小可。注意到阿基米德同時是偉大的數學家,物理學

家和天文學家.所以,他通過這些圓所探討的未知領域,大約有 3 種可

能。

如果那些圓象徵著天體運行的規律,那麼哥白尼的日心說就可能

早 1500 年面世;如果那些圓是在繼續研究圓與其內接或外切正多邊

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形的位置關係的話,他就會把他已經發現的圓周率範圍

  

再大大向前推進一步;如果他是繼續用他特有的「窮竭法」研究圓形

 

 

物體的面積與體積的話,他可能使人類至少提早 1800 年叩開微積分

學的大門。

可是巨人終於一去不返地走了，那個羅馬士兵罪惡的屠刀,不止

是毀掉了阿基米德的生命,也給人類的科學史造成無可估量的損失。

6.阿基米德墓碑

馬塞拉斯得到阿基米德被殺的不幸消息,勃然大怒，他立即以殺人

犯的名義處死了那名士兵。他還撫慰了阿基米德的親屬，主持建造了

阿基米德陵墓並親自為之祭奠。

遵照阿基米德生前的遺願,在他的墓碑上刻

著他生前最得意的研究成果,那是一幅如圖 3 的幾

何圖形：一個圓柱及其內切球。它的含義是什麼？

阿基米德生前的研究成果無數,他為什麼偏偏鍾

愛這副幾何圖形？

發現這個圖形純屬偶然。一次, 阿基米德鄰居的兒子詹利到他家

的小院子玩耍,忽然看見阿基米德有許多做實驗用的各種幾何體模具。

頑皮的詹利對阿基米德說:「叔叔,我可以用你這些模具搭建一座教堂

嗎？」

「當然可以！」阿基米德很喜歡這個小詹利,放下手中的工作,興致

盎然地關注這個小孩的「建築」過程。

「教堂的立柱是圓圓的柱子，上面有一個大一些的球,」詹利馬

上拿起一個

銅球放到一個空心圓柱體上，可是他失望了，因為銅球的大小恰好與

 

 

圓柱體的

口徑相當,不僅未能放在「圓圓的柱子」上面，反而一下子落了下去。

那圓柱體的軸截面是正方形的,且盛滿了水,這顆落下去的銅球將一大

部分水擠了出來。更奇妙的是：這時圓柱內的水面恰好與銅球相切。

小詹利還在繼續玩耍,阿基米德卻陷入了沉思：這圓柱與球的體

積之比是多少呢？

阿基米德運用他獨創的「窮竭法」進行了準確的計算後終於發現:

如果在圓柱內有一個直徑與圓柱體等高的內切球，則圓柱的表面積和

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體積分別等於球的表面積和體積的

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這個結論太奇妙了,所以它成為阿基米德無數發現中的最愛,它讓

後人在他的墓碑上刻下這個圖形,正是告訴人們：大自然是多麼奇妙,

反映大自然的幾何圖形中隱藏著多少秘密？一切必然的研究成果都

來自偶然的發現。只要留心觀察周圍的世界,誰都有可能開啟尚未開

發的科學秘密之門。

在阿基米德去世 100 多年後,他的墓葬之處已是殘破不堪.蹤跡

難尋。這時,西西里島的另一個偉大的哲學家西塞羅（公元前 106~

前 43 年）遊歷敘拉古時，特地在荒草叢中尋到了半塊象徵著阿基米

德的圖形墓碑,並以此確定那正是阿基米德的墳墓，他懷著對阿基米

德的崇拜心情,重新修復了那座墓。

遺憾的是歷史的長河未能保住阿基米德墓,但是他的名字已是家

喻戶曉, 人們將永遠記住他的豐功偉績。

(本篇作者:陳忠懷)