locmtest:非線性模型的內生性檢驗

2021-03-02 Stata連享會

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作者： 黃釗琳 (中山大學)
郵箱： 907641684@qq.com

 

目錄


 

本文編譯自如下論文，特此致謝：
Michael P. Babington, Javier Cano-Urbina. A Test for Exogeneity in the Presence of Nonlinearities. Stata Journal, 2016, 16(3):761-777.  -PDF-

溫馨提示： 文中連結在微信中無法生效。請點擊底部「閱讀原文」。

 

1. 引言

在許多的經濟應用中，經常會產生非線性關係。即使潛在的內生變量其實是非線性地進入關係，我們通常假設其線性進入關係，然後運用 Hausman 檢驗。然而在存在這些非線性的情況下，Hausman 檢驗對潛在的內生變量是否外生是不知情的。

因此，當結果變量和離散的潛在內生變量之間是非線性關係時，為了評估非線性模型的內生性，locmtest 命令應運而生。本文主要介紹 locmtest 命令的應用背景、基本思想和實例應用。

 

2. 非線性模型的內生性檢驗

本命令是在 Lochner and Moretti (2015, Review of Economics and Statistics 97: 387–397) 提出的非線性模型的內生性檢驗基礎上開發的。

2.1 適用場景

值得注意的是，在 Lochner and Moretti (2015) 基礎上開發的測試並不適用於所有非線性模型，而只適用於以下情況：

假設我們估計變量

當

如果

但不同的是它隱含的假設是

因此，本命令只在 (1) 式和 (2) 式描述的特定模型中適用。同時不難看出，還需要滿足三個至關重要的條件：

2.2 理論前提

在之前的研究中， (2) 式中內生性問題通常是使用 Hausman 檢驗即基於 OLS 和 IV 或 2SLS 估計的比較，但是 Lochner and Moretti 發現，當真實關係用 (1) 描述時，用 (2) 估計可以導致不同的普通最小二乘 OLS 、 IV 和兩階段最小二乘 2SLS ，如果用 Hausman 檢驗有可能會導致錯誤的內生性結論。因此， Lochner and Moretti 針對這種情況提出了一個新的穩健性檢驗。

下面給出當非線性模型 (1) 是正確時，會導致線性模型 (2) 中的

首先從 IV 估計看起，標準的 IV 估計會使得 (2) 式中的

其中，

滿足假設1：已知
的前提下，那麼可以得到

對所有的

而

因此不難得出

同理對於 2SLS ，如果有多個工具變量

滿足假設1和假設2：

同理，2SLS的

最後，為了考慮為什麼 Hausman 檢驗可能得出錯誤結論，OLS 估計如下：

而

同理

因此，標準的 Hausman 測試是基於 OLS 和 IV 或 2SLS 估計之間的差異。然而，上述分析表明，即使在沒有內生性的情況下，OLS 和 IV 或 2SLS 估計量也會收斂到不同的加權平均值；見 (3)、 (5) 和 (6)。如果 OLS 和 IV 或 2SLS 的權重有很大的不同，這會產生不同的OLS和IV或2SLS估計，反過來又會導致使用標準 Hausman 檢驗出現錯誤。

2.3 Wald 檢驗

Lochner and Moretti 發現，如果

反之，如果

因此，Lochner and Moretti 提出的 Wald Test 主要分為兩步，一是將所有參數的幀估計 (frame estimation) 作為一種疊加廣義矩 (GMM) 問題來導出他們的漸進分布；二是利用δ方法導出 (7) 所呈現的變換的漸近分布。

省略 GMM 的編寫過程，以下定理總結了 Lochner and Moretti (2015) 的主要結果。

定理：在假設 1 和 2 的前提下，如果

Lochner and Moretti 採取了蒙特卡羅模擬 1000 個觀察值，發現當

 

3. Stata 實操

我們可以用 locmtest 命令來實現 Lochner–Moretti (LM) 檢驗。在輸入命令後，會顯示 (1) 式 OLS、2SLS 和 IV 估計的

locmtest 是外部命令，安裝方法如下：

. ssc install locmtest, replace
基本語法格式如下：
locmtest depvar (varlist1 = varlist_iv) [indepvars]  ///
         [if] [, graph coefficients] `
其中：
需要注意的是，雖然此命令允許 indepvars 中出現因子變量，但它不允許 varlist_iv 中出現因子變量。有關因子變量的使用，請參見 help fvvarlist，以及連享會推文 Stata：因子變量全攻略。
3.1 實例 A：Card (1995a) 估計教育的回報率
這裡，我們以 Card (1995a) 的數據來估計教育對收入的影響。
其中 
現在假設群體中，由於羊皮效應，
此時，即使 
use http://www.stata.com/data/jwooldridge/eacsap/card, clear
locmtest lwage (educ = nearc4) exper expersq,graph coefficient

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: lwage
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: nearc4
 
Number of observations = 3010
Number of Categories of Endogenous variable is: 18
Number of Dummies is: 17
 
The number of Excluded Instruments is: 1
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
---+----
         OLS |  .09317071   .00357785
          IV |  .25871555   .03373941
       RWOLS |  .09072257   .00573885
---+----
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
---+----
     LM-Wald |   24.19655   8.699e-07
  Naive Wald |   30.12477   4.051e-08
    DWH Test |  41.823868   1.162e-10
---+----
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).
 
注意到結果，IV 估計係數值大於 OLS 估計係數值，這與學校教育的內生性可能會高估 OLS 的教育效果的假設相反。雖然對這一結果有幾種解釋，如測量誤差和學校教育影響的個體異質性，但收入與學校教育中的非線性關係也是原因。考慮到可能的羊皮效應，這種可能性無疑大大提高了。Naive Wald 和 DWH 檢驗都拒絕外部性。LM 檢驗也拒絕外部性，這降低了人們對前幾次檢驗的結論是由於錯誤判斷關係導致的擔憂。
3.2 實例 B：Lochner and Moretti (2015) - 教育與犯罪率
我們的第二個例子使用 Lochner and Moretti (2015)，研究教育對犯罪的影響。他們估計的線性模型設定如下：
其中，
再次假設真實模型如下：
我們只關注在黑人男性中這一效應的影響，應用命令得到結果：
. use "http://eml.berkeley.edu//~moretti/inmates", clear  

*省略數據處理後* 
. locmtest prison (educ = ca9 ca10 ca11)    ///
           i.rage i.year i.state i.birthpl i.birthpl#i.BBeduc   

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: prison
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: ca9 ca10 ca11
 
Number of observations = 401529
Number of Categories of Endogenous variable is: 19
Number of Dummies is: 18
 
The number of Excluded Instruments is: 3
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
---+-
         OLS |  -.00369034   .00008333
          IV |   -.0047513   .00115743
       RWOLS |  -.00073792   .00017873
---+-
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
---+----
     LM-Wald |   11.944147  .00054819
  Naive Wald |   .97566386  .32327168
    DWH Test |   .51540357  .47280942
---+----
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).
值得注意的是，無論是 Naive Wald 還是 DWH 檢驗都不能拒絕外部性，但是 LM 檢驗拒絕它。因此在這個例子中，水平特定效應的差異可能導致標準 Hausman 檢驗在應該拒絕時不能拒絕外部性。
3.2 實例 C：Lochner and Moretti (2015) - 白人男性的教育與犯罪率
依然是研究實例 B 中的教育對犯罪的影響，但是對象換成了白人男性。模型假定與實例 B 相同。
此次命令同時包括了 graph 和 coefficient 選項。
. use "http://eml.berkeley.edu//~moretti/inmates", clear  

*省略數據處理後* 
. locmtest prison (educ = ca9 ca10 ca11)     ///
           i.rage i.year i.state i.birthpl,  ///
           graph coefficients
 

=================================================== 
Output for the Lochner & Moretti (2015) Wald Test  
=================================================== 
 
Output Variable y: prison
Endogenous Variable s: educ
Instruments z: ca9 ca10 ca11
 
Number of observations = 3209138
Number of Categories of Endogenous variable is: 19
Number of Dummies is: 18
 
The number of Excluded Instruments is: 3
 
Estimated Coefficients 
 
             |      Coef.    Std. Err.
---+-
         OLS |  -.00099111   .00001191
          IV |  -.00114869   .00036243
       RWOLS |  -.00120313     .000034
---+-
 
Estimated Test Statistics 
             |      Test     p-value
---+----
     LM-Wald |   .02247255  .88083682
  Naive Wald |   .20211212  .65302138
    DWH Test |   .16365057  .68581755
---+----
 
NOTES: 
 
RWOLS = Reweighted OLS using TSLS Weights 
 
LM-Wald = Lochner-Moretti Wald Test
 
Naive Wald = [ (IV-OLS) / SD(IV-OLS) ]^2 
 
DWH Test: Durbin-Wu-Hausman Test (Augmented Regression).

Estimated Coefficients: 

    |    B           seB       W2SLS     seW2sls     Wols     seWols
----+-
  1 | -.0004088   .0011741   .0037614   .0004353   .0072537   .0000132
  2 |  .0045219   .0012997   .0061937     .00047   .0085221   .0000143
  3 |  -.001657   .0009236     .01063   .0005368   .0109205   .0000164
  4 | -.0010993   .0007393   .0224401   .0006503   .0145451   .0000194
  5 |  .0012797   .0006386   .0393125   .0008261   .0187105   .0000225
  6 | -.0001663   .0005139   .0590797   .0010652   .0236794   .0000259
  7 |  .0000373   .0003851   .0833742   .0013781   .0316599   .0000307
  8 | -.0020164    .000276   .1191036   .0018339   .0426187   .0000363
  9 |  .0013537    .000223   .1539329   .0021541   .0668838   .0000444
 10 | -.0023834   .0002292   .1452373   .0019494   .0809498   .0000476
 11 |  -.001019   .0002225   .1335972   .0018293   .0928632   .0000511
 12 | -.0046185   .0001729    .151474   .0020407   .0986295    .000055
 13 | -.0014042   .0001508   .0016496   .0028537   .1147939   .0000602
 14 | -.0004354   .0001853   .0166923    .002551   .1120058    .000057
 15 | -.0014717   .0002178   .0173397   .0023118   .0993689   .0000538
 16 |  .0007271   .0002121   .0225779   .0020952   .0889882   .0000522
 17 | -.0003403     .00023   .0088103    .001667   .0512865   .0000451
 18 |  .0009268   .0002471   .0047934   .0014149   .0363205   .0000395
           
繪製出的圖如下：
結果表明，Naive Wald 和 DWH 測試都不能拒絕 
在繪製出的圖 和 Stata 輸出的估計係數矩陣中對估計係數進行了描述。矩陣和圖也給出了 OLS 和 2SLS 權重的估計。從圖可以看出，12-16 歲受教育年限的 OLS 權重較高，而 9-12 歲受教育年限的 2SLS 權重較高。這意味著9年到12年的教育過渡對 2SLS 估計有實質性的影響。
 
4.  局限
正如 Lochner and Moretti (2015) 所言:
"This Wald test represents only a partial solution to the problem of estimating multiple per-unit treatment effects with limited instruments."
如果檢驗拒絕外部性，此檢驗無法為擬合正確模型提供任何幫助。
 
5. 參考文獻
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Michael P. Babington, Javier Cano-Urbina. A Test for Exogeneity in the Presence of Nonlinearities. Stata Journal, 2016, 16(3):761-777.  -PDF-Lochner, L., and E. Moretti. 2004. The effect of education on crime: Evidence from prison inmates, arrests, and self-reports. American Economic Review 94: 155–189.Lochner, L., and E. Moretti. 2015. Estimating and testing models with many treatment levels and limited instruments. Review of Economics and Statistics 97: 387–397. -Link-, -PDF-
 
6. 相關推文
Note：產生如下推文列表的命令為：
  lianxh iv 工具變量 hausman, m
安裝最新版 lianxh 命令：
  ssc install lianxh, replace
 
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Stata新命令-pdslasso：眾多控制變量和工具變量如何挑選？IV-工具變量法：第一階段係數符號確定時的小樣本無偏估計IV 經典：尋找 IV 的足跡——Card（1993）Abadie新作：簡明IV,DID,RDD教程和綜述
 
 
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    各位SPSS學堂粉絲大家好，上次我們簡要給大家梳理了一篇有關非線性關係的文章，現在我們就關於此模型的數據如何用SPSS操作和結果分析進行詳細介紹，前面的描述性統計與相關分析等我們之前的文章中都有提到，這裡我們就不再示範，我們直接給大家示範假設檢驗部分的數據分析。
  • 怎樣區分線性和非線性_線性與非線性的區別
    4.線性與非線性，常用於區別函數y = f （x）對自變量x的依賴關係。線性函數即一次函數，其圖像為一條直線。其它函數則為非線性函數，其圖像不是直線。5.在數學上，線性關係是指自變量x與因變量yo之間可以表示成y=ax+b ，（a，b為常數），即說x與y之間成線性關係。