雙曲函數漫談

[引言]雙曲函數雖然不具有三角函數的形式，但是卻有著相似的性質。這類函數在高中數學中沒有明確的說明，但是經常考察，是函數類問題的熱門考點。現進行歸納和總結。

 

[何謂雙曲函數]雙曲函數利用指數函數進行定義的，具體分為：

雙曲正弦函數

雙曲餘弦函數

雙曲正切函數

此外還有雙曲餘切函數、雙曲正割函數、雙曲餘割函數。由於高中數學關於三角函數部分只討論正弦函數、餘弦函數和正切函數，所以該部分從略。

 

[雙曲函數的圖像]如下圖所示。其中chx在歷史上非常有名，它是著名的懸鏈線方程。即一段有質量的繩子，兩端水平懸掛，它在重力的作用下所形成的曲線的形狀。

 

[雙曲函數的性質]如下表所示。

函數

雙曲正弦函數

雙曲餘弦函數

雙曲正切函數

定義域

R

R

R

值域

R

[1,+∞)

(-1,1)

奇偶性

奇函數

偶函數

奇函數

單調性

單調遞增

(-∞,0]單調遞減；[0,+∞) 單調遞增

單調遞增

過定點

(0,0)

(0,1)

(0,0)

對稱性

關於原點對稱

關於y軸對稱

關於原點對稱

漸近線

y＝±1

[雙曲函數的恆等變換]與三角函數的恆等變換非常相似。

一、恆等關係

二、加法公式

三、減法公式

四、二倍角公式

五、導數公式

[恆等關係的證明]為了便於理解，現對其中的恆等關係進行證明：

[導數關係的證明]雙曲函數的一大優點是求導時沒有負號，這對於某些場合下構造函數，比較方便。

 

[例1](2018年，北京昌平高三期末，理6)已知函數f(x)=ex＋e－x，則函數f(x)（  ）

A)是偶函數，且在(-∞,0)上是增函數。

B)是奇函數，且在(-∞,0)上是增函數。

C)是偶函數，且在(-∞,0)上是減函數。

D)是奇函數，且在(-∞,0)上是減函數。

 

[答案]C

 

[例2](2019年，清華附中朝陽分校高一上學期期中，21)已知函數

1）判斷函數的奇偶性；

2）還能寫出該函數的哪些性質？並畫出草圖。

 

[答案]1）奇函數；2）定義域R，值域(-1,1)，單調遞增。

 

[解析]略。圖像如圖所示。

[變式](2019年，人大附中高一思考與探究)已知函數

畫出函數的草圖。

 

[點評]如果不了解雙曲正切函數，做出其函數圖像是有一定難度的。可以考慮採用分離常數法，例如

其中e2x的值域為(0,+∞)，e2x+1的值域為(1,+∞)，則其倒數的取值範圍為(0,1)，從而雙曲正切函數的值域為(-1,1)。

然後根據其奇偶性、單調性可以做出函數的草圖。

 

[例3](2017年，內蒙古集寧一中高一期中理科)若定義在R上的偶函數f(x)和奇函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝（  ）

A．ex－e－x       B．(ex＋e－x)/2

C．(e－x－ex)/2    D．(ex－e－x)/2

 

[答案]D

 

[解析]由於f(x)為R上的偶函數，所以f(-x)=f(x).

又由於g(x)為R上的奇函數，所以g(-x)=-g(x).

由f(x)+g(x)=ex得，f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=e-x.

解得g(x)=(ex-e-x)/2。故選D。

 

[例4](2019年，安徽高一期末)下列函數中偶函數是（  ）

 

[答案]D

 

[解析]選項A、C為奇函數，選項B為非奇非偶函數，選項D為偶函數。故選D。其中選項C，

[例5](2020年，北京朝陽高三第一學期期末，6)已知函數

則f(x)（    ）

（A）是奇函數，且在(0，+∞)上單調遞增。

（B）是奇函數，且在(0，+∞)上單調遞減。

（C）是偶函數，且在(0，+∞)上單調遞增。

（D）是偶函數，且在(0，+∞)上單調遞減。

 

[答案]C

 

[例6](2020年，陝西高三理科)函數y＝（ex－e－x）cosx的圖象大致為（  ）

A．B．

C．D．

 

[答案]C

 

[解析]ex－e－x為奇函數，cosx為偶函數，因此所給函數為奇函數。

當x＞0時，ex－e－x＞0，cosx＞0，所給函數為正。故選C。

 

[例7](2018年，安徽省懷寧縣第二中學高三月考理科)已知命題p1：函數f(x)=ex－e－x在R上單調遞增，p2：函數g(x)=ex＋e－x在R上單調遞減，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（p1）∨p2和q4：p1∧（p2）中，真命題是（  ）

 

A．q1，q2    B．q2，q3

C．q2，q4    D．q1，q4

 

[答案]D

 

[解析]由前述雙曲函數的討論可知，函數f(x)為奇函數，函數g(x)為偶函數。因此命題p1為真，命題p2為假。

從而命題q1：p1∨p2為真命題；q2：p1∧p2為假命題；q3：（p1）∨p2為假命題；4：p1∧（p2）為真命題。故選：D．

 

[例8](2018年，全國II卷，文3)函數

的圖像大致為（  ）

 

[答案]B

 

[解析]函數f(x)為奇函數，排除選項A。

對函數f(x)求導，得

令f′(x)=0，有

即函數f(x)的極值點在函數g(x)=x與函數h(x)=2thx的交點處取得。由於函數g(x)和函數h(x)的圖像都在I、Ⅲ象限，所以排除選項D。

最後，由於shx函數的增長速率高於2x2，所以隨著x的增大，函數f(x)值也增大。因此排除選項C。

綜上，選B。函數的圖像如圖所示。

[例9](2019年，北京高考，理13)設函數f(x)=ex+ae－x（a為常數）．若f(x)為奇函數，則a=________；若f(x)是R上的增函數，則a的取值範圍是___________．

 

[答案]1）-1；2）(-∞,0]

 

[解析]由於函數f(x)為奇函數，且0∈R，所以f(0)=0，

即a＝－1。

根據雙曲正弦函數和雙曲餘弦函數的性質，a＜0時單調遞增，a＞0時單調遞減。又a＝0時，f(x)=ex，為單調遞增函數。故a的取值範圍是(-∞,0]。

 

[變式]設函數f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函數，則實數a的值是       ．

 

[答案]-1

 

[解析]取特殊值法。因為函數f(x)為偶函數，所以f(-1)=f(1)，即

即a的值為-1。

[後記]三角函數是在單位圓裡定義的，又稱為圓函數。

 

而雙曲函數是在單位雙曲線x2-y2=1裡定義，因此被稱為雙曲函數。

根據複變函數的理論，它們本質是統一的。根據歐拉公式，正弦和餘弦函數可以寫為

而雙曲正弦和雙曲餘弦函數為

因此有

例如正弦和餘弦函數的最小正周期為2π，而雙曲正弦和雙曲餘弦函數的最小正周期為2πi。

 

在高等數學中，換元法是一類重要的數學技巧。三角換元是其中之一，而雙曲換元也是其重要的組成部分。

 

最後，引用知乎某大神的評論：線性函數、三角函數、雙曲函數，反應的是不同空間的彎曲程度。具體來說就是同一半徑的圓在三種不同的彎曲空間（平面，球面和雙曲面）下的周長。

 

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