考慮積分 ∫x0t2dt∫0xt2dt 實際上是一個以積分上線 x 為變量的函數, 這就有
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17.2 微積分的第一基本定理(The First Fundamental Theorem)觀察下面的圖形:
上圖淡紅色的陰影部分, 當 h 很小的時候幾乎為小豎條, 所以可以用計算長方形面積的方法來估算該豎條的面積, 它的底從x 到x+h, 高從0 到f(x), 所以面積是 h*f(x) , 也就是:
微積分的第一基本定理:如果函數f 在閉區間 [a,b] 上是連續的, 定義F 為
則 F 在開區間 (a,b) 內是可導函數, 而且 F'(x)=f(x)
反導數的引入(Introduction to antiderivatives)
假設 f(t)=t2, a=0f(t)=t2, a=0 所以有
微積分的第一基本定理告訴我們 F'(x) = f(x). 因為f(t) = t2t2, 所以有f(x) =x2x2; 也就是說, F'(x) = x2x2. 換一種說法, 函數 F 的導數為 x2x2. 我們說 F 是 x2x2 的反導數(關於x).
17.3 微積分的第二基本定理微積分的第二基本定理：如果函數 f 在閉區間[a, b] 上是連續的, F 是 f 的任意一個反導數(關於x), 那麼有
17.4 不定積分(Indefinite Integrals)到目前為止, 我們使用兩種不同的方法計算定積分：黎曼和的極限和反導數.
如果你知道一個函數的導數, 那麼就會很快求出這個導數的反導數. 具體情況是：
不定積分沒有積分上下限, 而定積分有.
定積分是一個數, 它表示由曲線 y=f(x), x 軸以垂線 x=a 和 x=b 所圍成的面積;不定積分是一個函數的集合. 這個集合由函數 f 的所有反導數(關於 x)組成. 例如:
不定積分的兩個性質:
17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理「予人玫瑰, 手留餘香」
和自己最好的朋友們一起來遇見數學!