函數、圖像和直線-圖解《普林斯頓微積分讀本》01

2020-12-12 遇見數學

第一章 函數、圖像和直線

[遇見數學] 基於風靡美國《普林斯頓微積分讀本》一書所製作圖解系列, 內容章節安排完全按照此書推進, 提供更多的圖像和動畫來讓讀者體會微積分的無窮魅力, 建議配合原書來學習. 還請各位老師和讀者多多指導, 方便我們進一步改進.

1.1 函數

定義函數是將一個對象轉化為另一個對象的規則. 起始對象稱為輸入, 來自稱為定義域的集合. 返回對象稱為輸出, 來自稱為上域的集合.

一個函數必須給每一個有效的輸入指定唯一的輸出.

值域實際上是上域的一個子集. 上域是可能輸出的集合, 而值域則是實際輸出的集合. 如 f(x)=x2f(x)=x2 , 其定義域和上域均為 R, 那麼其值域是大於等於 1 數的集合, 觀察下面的動圖:

1.1.1 區間表示法

1.1.4 垂線檢驗(Vertical Line Test)

如果你有某個圖像並想知道它是否是函數的圖像, 你就看看是否任何的垂線和圖像相交多於一次. 如果多餘一次, 則不是函數的圖像.

1.2 反函數

定義反函數為對一給定函數做逆運算的函數. 也就是從輸出y 出發, 這個新的函數發現一個且僅有一個輸入 x 滿足 f (x) = y. 這個新的函數稱為 f 的反函數, 並寫作 f1f1.

1.2.1 水平線檢驗

如果每一條水平線和一個函數的圖像相交至多一次, 那麼這個函數就有一個反函數.

1.2.3 限制定義域

如果水平線檢驗失敗因而沒有反函數, 可以限制函數的定義域, 使之滿足水平線檢驗. 比如將 g(x)=x2g(x)=x2 的定義域縮減為 [0,∞) , 就滿足水平線檢驗, 也有了反函數.

1.3 函數的複合

複合函數指一個將第一個函數作用於參數, 然後再將第二個函數作用於所得結果的函數. f 是 g 與 h 的複合函數寫成 f = g h .

複合函數另一個簡單但重要的例子是, 將函數 f 和 g(x) = x-a(a 是常數) 進行複合. 對複合得到的新函數 h(x) = f(x-a), 需要關注的是新函數 y = h(x) 和函數 y = f(x) 的圖像是一樣的, 只不過 y = h(x) 的函數圖像向右平移了a 個單位.

類似地, y=(x+2)^2 的圖像是將 y=x^2 的圖像向左平移 2 個單位, 可把 (x+2) 理解為 (x -(-2))

1.4 奇函數和偶函數

一些函數具有對稱性, 偶函數的圖像關於y 軸具有鏡面對稱性, 即對所有的 x , f 都有 f(-x) = f(x) . 而奇函數是關於原點對稱, 即奇函數的圖像關於原點有180°的點稱性.

1.5 線性函數的圖像

形如f(x) = mx + b 的函數叫作線性函數. 圖像為一條直線, 斜率為 m.

斜率m 為正數, 那麼你正在上山. m 越大, 這段上坡就越陡. 相反, 如果m 為負數, 那麼你正在下山. m 的數值越小(即絕對值越大), 這段下坡也就越陡. 如果斜率為0, 這直線就是水平的.

直線方程的點斜式:如果已知直線通過點 (x0,y0)(x0,y0), 斜率為 m, 則它的方程為 y-y0=m(x-x0)y-y0=m(x-x0)

1.6 常見函數及其圖像

(1) 多項式

一般的多項式的圖像是很難畫的. 不過, 多項式的圖像左右兩端的走勢倒是容易判斷. 這是由最高次數的項的係數決定的 an, 該係數叫作首項係數.

(2) 有理函數

形如 p(x)/q(x) 其中 p 和 q 為多項式的函數, 叫作有理函數. 一個簡單的例子是 1/(x^n), 其中n 為正整數, 觀察下面奇次冪和偶次冪的圖像:

(3) 指數函數和對數函數

請查看文章自然常數 e 的故事

第一章《函數、圖像和直線》完

參考資料: 《普林斯頓微積分讀本》、維基百科

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