每當我們去認識一個新問題時，一般會從特殊出發，將特殊情況研究透徹後再去認識一般情況，這樣的研究思路體現了從特殊到一般的思想方法，也符合我們的認知規律。在複習三角形的相似時，我們經常會發現很多基本模型，如果能抓住這些模型，並向一般情形進行推廣，往往能提升我們解決問題的能力。
勾股為引，多個直角三角形的合作
眾所周知，點、線、面是初中幾何研究的基本。我們在研究了線段、直線、射線之後，就研究了兩條直線之間的關係。類似的，我們在研究了最基本的平面圖形三角形後，也就要研究兩個三角形之間的關係。我們在學習中，慢慢總結和得到一些模型和方法。例如「K型圖」「一線三等角」等模型，這些模型或方法，貫穿好幾塊知識區，首先出現在
「勾股定理」這一章。這一章中，最重要的圖即為「弦圖」（如圖1），弦圖中就有「K型圖」（如圖2），也是勾股定理無字證明的典型圖形。
全等為基，兩個三角形之間關係的初探
勾股定理研究了直角三角形的三邊關係，後續的研究也是圍繞單個三角形展開的。在研究了三角形的邊角關係之後，順理成章地進人兩個三角形之間的關係研究。由圖形的平移學習，我們已經初步了解平移前後兩個圖形形狀相同，大小相等。而最基本的封閉圖形就是三角形，從而進人到三角形全等的知識區。此時，圖2成為研究的典型圖形，並被稱為「K型圖」，由此拓展出
「一線三等角」模型。「一線三等角」的背景圖形一般為正方形、等邊三角形、等腰三角形等。
相似為終，兩個三角形的對應關係
在全等的應用中，「一線三等角」模型需要有對應線段相等，但在相似中，只需要有對應的角相等即可，應用時雖天馬行空，但有跡可循。為更好地發現聯繫，我們將展現各種模型。
典型例題，讓理念在實踐中升華
1王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木牆，木牆之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木牆的頂端重合．
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）求兩堵木牆之間的距離．
【解析】（1）根據題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據等角的餘角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可；
（2）利用全等三角形的性質進行解答．
由題意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，
∵△ADC≌△CEB，∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：兩堵木牆之間的距離為20cm．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求證：△DEF是等腰三角形．
（2）若△DEF為等邊三角形，求∠A的度數．
【解析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△CEF，然後即可求證△DEF是等腰三角形．
（2）得出∠DEF＝60°．可得∠B＝∠DEF＝60°．則∠C＝∠B＝60°．可求出結論∠A＝60°．
3．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A在x軸上，AB＝AC，∠BAC＝90°，且A（2，0）、B（3，3），BC交y軸於M，
（1）求點C的坐標；
（2）連接AM，求△AMB的面積；
（3）在x軸上有一動點P，當PB+PM的值最小時，求此時P的坐標．
【解析】（1）作CD⊥x軸於D，BE⊥x軸於E，證明△CDA≌△AEB，根據全等三角形的性質得到CD＝AE，AD＝BE，求出點C的坐標是（﹣1，1）；
（2）利用待定係數法求出直線BC的解析式，得到OM的長，根據△AMB的面積＝梯形MOEB的面積﹣△AOM的面積﹣△AEB的面積計算，得到答案15/4；
（3）如圖3，作M關於x軸的對稱點M′（0，﹣3/2），連接BM'，交x軸於點P，此時PB+PM的值最小，設直線BM′的解析式為y＝mx+n，則3m+n=3,n=-3/2,解得m=3/2,n=3/2，∴直線BM′的解析式為y＝3/2x﹣3/2，點P在x軸上，當x＝0時，y＝1，∴點P的坐標為（1，0）．
4．（1）問題發現：如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．
試寫出線段DE，BD和CE之間的數量關係為_____；
（2）思考探究：如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三點都在直線m上，並且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問（1）中結論還是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展應用：如圖3，D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D，A，E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀並說明理由．
【解析】（1）根據垂直的定義得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根據等角的餘角相等得到∠CAE＝∠ABD，根據「AAS」證明△ADB≌△CEA，根據全等三角形的性質得到AE＝BD，AD＝CE，結合圖形得到DE＝BD+CE；
（2）中結論成立，根據∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得到∠BAD＝∠ACE，由AAS定理證明△BAD≌△ACE，根據全等三角形的性質得到BD＝AE，DA＝CE，得出結論；
（3）根據等邊三角形的性質得到∠BAC＝120°，證明△BAD≌△ACE，得到BD＝AE，證明△BDF≌△AEF，得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝60°，根據等邊三角形的判定定理得到答案△DEF為等邊三角形．
5．（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D、E分別為邊AB、AC上的一點，將圖形沿線段DE所在的直線翻折，使點A落在BC邊上的點F處．求證：BFCF＝BDCE．
（2）如圖2，按圖1的翻折方式，若等邊△ABC的邊長為4，當DF：EF＝3：2時，求sin∠DFB的值；
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2√3，點D是AB邊上的中點，在BC的下方作射線BE，使得∠CBE＝30°，點P是射線BE上一個動點，當∠DPC＝60°時，求BP的長；
【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDF+∠BFD＝180°﹣∠B＝120°，
由摺疊知，∠DFE＝∠A＝60°，∴∠CFE+∠BFD＝120°，∴∠BDF＝∠CFE，
∵∠B＝∠C＝60°，∴△BDF∽△CFE，
∴BF/CE=BD/CF，∴BFCF＝BDCE；
（2）解：如圖2，設BD＝3x（x＞0），則AD＝AB﹣BD＝4﹣3x，
由摺疊知，DF＝AD＝4﹣3x，
過點D作DH⊥BC於H，∴∠DHB＝∠DHF＝90°，
（3）如圖3，在Rt△ABC中，AC＝2√3，∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4√3，AB＝√3AC＝6，
∵點D是AB的中點，∴BD＝1/2AB＝3，
過點C作BC的垂線交BP的延長線於Q，∴∠BCQ＝90°，
在Rt△BCQ中，∠CBE＝30°，∴CQ＝BC/√3＝4，
∴BQ＝2CQ＝8，∴∠BCQ＝90°，
∵∠CBE＝30°，∴∠Q＝90°﹣∠CBE＝60°，
∴∠DBP＝∠ABC+∠CBE＝60°＝∠Q，∴∠CPQ+∠PCQ＝120°，
∵∠DPC＝60°，∴∠BPD+∠CPQ＝120°，∴∠BPD＝∠PCQ，
∴△BDP∽△QPC，∴BD/PQ=BP/CQ，∴3/(8-BP)=BP/4，∴BP＝2或BP＝6．
6．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝1/4AB，點P在BC上運動（不與B，C重合），過點P作PQ⊥EP，交CD於點Q，求在點P運動的過程中，BP多長時，CQ有最大值，並求出最大值．
【解析】：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ，
又∠B＝∠C＝90°，
∴當x＝6時，y有最大值為4．即當BP＝6時，CQ的最大值．
7．如圖，在△ABC中，BA＝BC＝12cm，AC＝16cm，點P從A點出發，沿AB以每秒3cm的速度向B點運動，同時點Q從C點出發，沿CA以每秒4cm的速度向A點運動，設運動的時間為x秒．
（1）當x為何值時，△APQ與△CQB相似？
∵AC＝16cm，∴CQ＝4cm，AQ＝12cm。
∵BA＝BC＝12cm，點P從A點出發，沿AB以每秒3cm的速度向B點運動，同時點Q從C點出發，沿CA以每秒4cm的速度向
8．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別是邊BC，AC上的點，且∠ADE＝∠B．
（1）求證：ABCE＝BDCD；
（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；
（3）如圖2，若△ABC為等邊三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，點C在線段DE上，AD＝3，BE＝4，求DE的長．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠ADC為△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，
∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，
（3）解：作AF⊥BE於F，則四邊形ADEF為矩形，
∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，
設CD＝x，CE＝y，則AF＝DE＝x+y，
題後反思
對「一線三等角」相似模型的基本理解是：一條直線上有三個角相等，就會有「左右「兩個三角形相似。進一步，更深層的理解，「一線三等角」有三個角相等，分布於同一直線上的左、中、右位置，當中間角的頂點是左右角的頂點所成線段的中點時，會同時出現三個三角形相似。
「一線三等角」相似模型是比較常見的一個模型，我們不但要注意特殊的三等角，如三個90°角、三個60°角或三個45°角，還要能推廣到三個相等的任意角，甚至再回到特殊位置時，出現三個三角形同時相似，要從中學會「從特殊走向一般，從一般再回到特殊」的辯證思想，將知識向縱深處拓展。
通過以上案例的分析，我們可以發現，相似三角形這一章在「一線三等角」模型的串聯下，能讓初中數學整體學習得以實現。通過這個模型，初中數學知識點、知識體系得以整體化。我們在學習新的內容時有了類比，那麼在複習時，也就有了全局觀。如果我們能夠結合題目進行有效的變式與整合，多角度體驗模型的適用性和使用條件，就能更深層次地理解模型和模型之外的題型。