三角形的重心、垂心、內心、外心、穩定性、海倫公式、三邊長關係

2020-12-09 開天定元談教育

一、三角形

三角形

①三角形就是多邊形中的三邊形，多邊形的邊數n≥3。

②三角形的最後一邊是閉合而來的，故三角形的實質是二邊形。三角形的內心、外心、垂心、中心可由兩條邊確定，不需要第三邊，就是因此。

③三角形的穩定性：三條邊相等，則兩個三角形全等。（SSS定理）即三條邊的邊長確定，就確定了一個唯一形狀的三角形，三角形不會再形變，所以穩定。

註：SSS定理的三邊相等不需要對應，比如邊長3、4、5，邊長3、5、4，邊長5、4、3的三角形，形狀都一樣，都是全等的。之所以寫「對應」只是方便你思考。

二、三角形的內角和

利用平行線證明三角形的內角和=180°

作直線l∥m，則∠2=∠4，∠3=∠5，故∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠5=180°

三、三角形的分類

①按最大角分：

三角形按最大角分類

②按等邊數分：

三角形按等邊數分類

四、三角形的面積

①S=ah/2

三角形的面積

②令p=(a+b+c)/2,則S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

五、三角形的外接圓、外心

三角形的外接圓和外心

三角形的兩邊取垂直平分線，交點即為外接圓的圓心，叫外心。

銳角三角形的外心位置
直角三角形的外心位置
鈍角三角形的外心位置

六、三角形的內切圓、內心

三角形的內切圓和內心

三角形的兩角取角平分線，交點即為內切圓的圓心，叫內心。

∵S=ar/2+br/2+cr/2

=(a+b+c)r/2

∴r=2S/(a+b+c)

七、三角形的兩邊之和＞第三邊，兩邊之差＜第三邊。

三角形的兩邊之和＞第三邊

∵兩點之間，線段最短，

∴三角形的兩邊之和＞第三邊

三角形的兩邊之差＜第三邊

以點B為圓心，BC為半徑作圓，交AB於點C』，過點C』作C』D⊥AB，交AC於點D，則BA-BC=BA-BC』=AC』＜AD＜AC

八、三角形的垂心

銳角三角形、直角三角形的垂心位置
鈍角三角形的垂心

三角形的兩邊取垂線，交點即為垂心。

九、三角形的重心

三角形的重心

三角形的兩邊取中線，交點即為重心。

若且唯若三角形是正三角形時，重心、垂心、內心、外心四心合一，稱做正三角形的中心。

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