轉自: https://spaces.ac.cn/archives/1868. [遇見] 補充部分圖形, 轉自請註明
提示: 如文中數字/公式顯示較大, 請點擊右上角中"刷新"即可恢復正常. 2019.1.14 修訂文中一處公式錯誤.
也許當我們從小學數學進入中學數學的過程中，讓我們最鬱悶的事情就是課本上把用的好好的角度制改為弧度制了，那個好好的 的周角無端端變成了一個無理數 ，為此還多了一堆轉換公式，那時這可把我折騰了好一陣子。為什麼一個完美的 不用，反而轉向一個無理數 ？這裡邊涉及到了相當多的原因，在這些原因中，重新體現了數學體系的一致與簡約。當然，文章裡的觀點只是我自己的看法，僅供大家參考。
▌弧度制：簡約的要求
如果讀者已經學過了極限理論，那麼我就可以直接說，引入弧度制，是為了在這樣的一種角的度量體制下，滿足：
不難證明，只有弧度制才滿足這一極限。假如使用角度為單位的話，我們就有
這樣就顯得不簡潔了。滿足這個極限有什麼好處呢？那是為了更進一步的簡潔：只有滿足這個條件，我們才有：
這樣的簡潔式子。也只有當有了這樣的簡潔公式後，正（餘）弦函數才能有更簡單的表達形式：
也只有在這樣的條件之下，才會有偉大的歐拉公式：
然後才會有複分析各種偉大的數學成果。
如果使用角度單位，那麼
會把我們糾結死的。所以最終我們選擇了弧度制。
▌弧度制：統一的描述
事實上，使用弧度制，還有另外一個原因：出於我們對角的測量的反思和推廣。
我們一般說的角，都是指平面角。其實角就是兩條同源射線的張開程度，我們怎麼測量這個張開程度的呢？我們先把一個周角分為 份，每一份叫做一度，然後再分細，然後用這個「量角器」來測量它。在小學我們也許就學過 這樣的變換規律。這樣很容易讓我們認為「度」是一個實在的單位，用物理的語言說，就是角度具有量綱。但事實上，角度是沒有量綱的，它不像長度、時間那樣具有實在的單位。我們所說的度、分、秒是人為給定的，不能反映其物理實在。
其實，測量兩條射線的張開程度，不一定需要上面的「量角器」來度量，只需要計算長度之比就行。比如說，在一條射線上任取一點，往另外一條射線作高，構成一個直角三角形，高與斜邊之比，也就是 的值，就代表了這個張開程度的大小。但這種測量方式中， 是不隨 的勻速變化而勻速變化的（不成線性關係），這樣用起來不便。後來，數學家巧妙地構思了一種角度的定義：
以角的交點為圓心，以單位長度為半徑作一個單位圓，那麼那個角所截的弧的長度就是角的大小。
這就是數學家測量角的方法！也許有的讀者會問這樣角不是具有長度的單位了？要注意這裡是單位圓，這是描述的方便，它實際上是弧長與半徑之比，既然是一個比值，自然就沒有量綱了！我們中學的時候學過在弧度制下弧長 ，也許還要求我們證明。現在你該明白，這是弧度的定義！中學要求我們去證明實際上是本末倒置了（但是這也無可厚非）。就好比我問你「為什麼第一名屬於前三名？」一樣，因為「不屬於前三名就不可能是第一名！」。
這個角的定義很容易讓我們將其推廣到「立體角」的概念：
從一點引出三條或三條以上的射線，並且以這點為球心作單位球，這些射線在單位球上截出的球面多邊形的面積，就是這個立體角的大小。
這樣的推廣是很顯然的，也是很有用的。當然，在這裡我們並不進一步展開論述它的作用。不過，我們已經可以發現，從角度到弧度，反映了數學家追求數學整體的和諧和簡潔這一事實所在！(完)