數學將被證明是錯的，如果這程序停止運行

原文作者，Jacob Aron，New Scientist物理科學記者。

譯文作者：小王子 ，哆嗒數學網翻譯組成員。

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我們使用了150年之久的現代數學將被證明是錯誤的——如果這樣一個新的電腦程式停止了運行。還好，這不太可能發生。但是，支持它的代碼正測試著數學體系的局限。

這個程序就是一臺模擬的圖靈機，是由密碼破譯學家艾倫·圖靈發明的數學計算模型。1936年的時候，圖靈就指出，任何計算機算法的行為都可以被一臺簡單的機器模擬出來：一臺以不同狀態和指令在無限長的帶子上讀寫0，1為工作原理的機器。並且算法越複雜，機器所需要使用的狀態就越多。

現在，麻省理工學院的和已經製造了三臺圖靈機，他們與一些深刻的數學問題緊密聯繫。這些問題包括了已經困擾人們150年之久的黎曼假設的證明，黎曼假設是一個對質數的分布規律的猜想。

一直以來，圖靈機都用於探求類似的難題。這些難題源自於上世紀30年代一系列撼動數學界的帶有哲學意味的新發現。首先，庫爾特·哥德爾證明了總有一些數學命題既不能被證明是真的，也不能被證明是假的——他們是不可以被判定的。特別地，對於「這句話是假的」這個命題（說謊者悖論），他用了全新的數學視角做出如此解讀：一個合乎邏輯但又自相矛盾的腦筋急轉彎。

沒有能證明一切的萬能公理

哥德爾的理論給自己留了一條退路。如果你改變了建立在證明之上的基本假設——公理，雖然你可以使一個問題變得可判定了，但這樣卻會讓其它的一些問題變得不可判定。換句話說，就是不存在能證明一切的萬能公理系統。

根據哥德爾的結論，圖靈相信一定存在一些在標準公理體系下無法預測其行為的圖靈機，含選擇公理C的-，或者更接地氣些可描述為ZFC，ZFC是絕大部分數學的基礎。但是我們根本不知道這些標準公理體系有多複雜。

現在，Yedidia和Aaronson已經創造了一臺帶有7918個狀態、具有這個ZFC屬性的圖靈機，並把它命名為「Z」。

「我們試圖能更具體地描述出在進入不可證明性的『黑洞』前它需要使用多少個狀態。」 Aaronson說。

他們在計算機上模擬了Z，理論上Z小得可以被當成一個物理設備建立起來。加利福尼亞大學洛杉磯分校的陶哲軒說：「假設忽略物理的摩擦和能源的消耗，如果當時有人已經開啟了這樣一個物理設備，那麼我們可以相信它將無限運行。」

無邊無際

Z將在它的7918條指令中永久循環下去，然而如果它最終停止了，就將證明ZFC矛盾。數學家們不必太恐慌，因為只要他們簡單地轉向一組稍稍強一些的公理集合。這樣的公理系統是存在的，並且可以用來驗證Z的行為，但是這樣做幾乎得不到什麼收穫，因為總有一臺圖靈機可以超越任何公理。

「我們可以把任何被給定的公理系統想像成一個有特定內存大小和處理能力的計算機。」陶哲軒說，「我們可以轉向一臺擁有更多內存的計算機，但是，不管計算機有多大的存儲空間，仍然存在一些超出它能力的任務，是它無法完成的。」

Aaronson和Yedidia已經創造了另外兩臺機器，這可能給數學家們節約不少的時間。長期以來，有兩個著名的數學問題一直被相信是真的，並且也只有當它們被證明是確實假的時候，這兩臺機器才會停止。它們分別是哥德巴赫猜想和黎曼假設。哥德巴赫猜想指出，每一個大於2的偶數是兩個素數之和，黎曼假設認為，所有的素數分布都遵循一定的規律。後者形成了部分現代數論的基礎，如果不幸地被推翻了，將會是一個重大的顛覆。

現實意義

實際上，他們沒有無限期運行他們的圖靈機來證明這些問題是錯誤的打算。「這不是攻克這個問題的有效方式，」來自亞特蘭大喬治亞理工學院的說。

解釋數學問題，圖靈機有不同的實際意義：它協助計算了複雜問題的複雜性。如果說Z機器有7918個狀態，那哥德巴赫的機器就有4888個狀態，而黎曼的是5372個狀態，這表明ZFC問題是這三個問題中最複雜的。「這更符合大多數人對不同事物的直觀的比較方式。」Aaronson 說。

現在Yedidia 已經將他的將他的代碼放到網上，數學家們也爭相把這些圖靈機的大小縮減至極致。儘管還沒有驗證，但是在Aaronson 博客下的一位評論者聲稱他已經創造了一臺只需31個狀態的哥德巴赫機。

Fortnow表示圖靈機的實際大小是不影響的。他說，「文章表明我們可以有比ZFC強的而可以很精簡的圖靈機，但是即使它們變得更精簡了，在基礎數學的研究上它也不會允許我們有更多的鬆懈。」

但Aaronson 說進一步地縮減Z將會帶來一些有意思的討論——關於數學底層構建的局限性的——一些哥德爾和圖靈希望能知道的事情。「他們也許會說，『這真是太棒了，但是你可以搞定只需要800個狀態的圖靈機嗎？80個狀態的呢？』」 Aaronson表示，「我想要知道，是否可以有一臺這樣的機器，它的行為能獨立於ZFC而只有10個狀態。」

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