用圖解的方法解讀傅立葉變換的本質原理

2021-01-07 電子通信和數學

前面的文章我們詳細地從另一個角度來解讀傅立葉變換，傅立葉變換為非周期函數的處理提供了強有力的數學工具，我們用歐拉公式將e的指數項分解為實數和虛數兩部分

我們以矩形函數為例，這個矩形函數的T=∞，左邊對應的是實數情況下的餘弦波，右邊對應的是複數情況下的正弦波函數，我們來看這個波形是如何與傅立葉變換對應的

因為矩形波在-0.5<t<0.5的情況下等於1，其餘都等於0，所以就是如下的圖形

正餘弦陰影區域的面積之和就是我們要得到的傅立葉變換

如下，當角頻率ω=2.14時，左邊圖形下的面積=0.82，右邊等於0，所以ω=2.14時傅立葉變換就等於0.82

但有一個有趣的結論：ω=0時，傅立葉變換的值就是原函數曲線下的面積，如下圖面積等於1，但右邊的波形區域下的面積始終等於0

我們繼續，當ω=6.28=2π時，左邊的餘弦波圖形是一個完整的周期函數，所以面積等於0，右邊的正弦波函數圖形仍然等於0

所以ω=0時，傅立葉變換F(ω)的值等於0

當ω=10.8，左邊正弦波下的面積是-0.14，所以F(ω)=-0.14

當ω=22時，左邊正弦波下的面積是-0.09，右邊圖形下的面積始終等於0，所以F(ω)=--0.09，

相關焦點

  • 變換的真諦:「傅立葉變換」形象直觀的本質原理
    傅立葉變換在信號處理，熱了學，聲學中隨處可見他的身影，但都是以複雜的數學推導得出。本篇以通俗的方式向廣大愛好者展現出傅立葉變換的意義與樂趣：我們從圓的轉動頻率不同的思路出發，將時域信號分離出來，得到傅立葉變換最直觀的結果。如圖：是一個固定周期信號波，我們把這個波形纏繞在一個旋轉的圓周上（形如花瓣）。箭頭指的是同一時刻，圓與信號波的對應位置。
  • 傅立葉變換的本質及其公式解析
    下面從公式解釋下傅立葉變換的意義：因為傅立葉變換的本質是內積，所以f(t)和在時域用窗函數去截信號，對截下來的局部信號作傅立葉變換，即在t時刻得該段信號得傅立葉變換，不斷地移動t，也即不斷地移動窗函數的中心位置，即可得到不同時刻的傅立葉變換，這樣就得到了時間—頻率分析。
  • 形象易懂的傅立葉變換、短時傅立葉變換和小波變換
    二、短時傅立葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）一個簡單可行的方法就是——加窗。我又要套用方沁園同學的描述了，「把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅立葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。」這就是短時傅立葉變換。
  • 可視化傅立葉變換:矩形波的傅立葉變換過程原理
    連續傅立葉變換採用輸入函數f(x）中的時域和把它變成一個全新功能的頻域中的函數F(ω）,而傅立葉變換是專門用來解決非周期函數的，非周期函數通過傅立葉變換實現從時域到頻域的轉換，如下對矩形波進行傅立葉變換矩形波是一個比較簡單的周期函數，如下只有一個矩形，所以看作非周期函數，可對其進行傅立葉變換，我們已經很熟悉，矩形波的傅立葉變換圖形是sinc函數，即數學中的Sinx/x函數模型該函數在x=0時，sinc函數值等於1，如下圖
  • 傅立葉變換和拉普拉斯變換的辨識!
    傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。傅立葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。
  • 傅立葉變換,拉普拉斯變換和Z變換的意義
    傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數(正弦和/或餘弦函數)或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。　　傅立葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。
  • 傅立葉變換與拉普拉斯變換的物理解釋及區別
    傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。 傅立葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。
  • 泰勒展開,傅立葉變換,拉普拉斯變換和Z變換的意義
    傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。傅立葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關鍵是：一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這麼分解後有助於處理。
  • 傅立葉為何變換?
    因為，傅立葉變換的定義非常唬人：傅立葉變換定義式唬人是啥意思呢？「唬」其實是多音字，不僅讀hu，還尼瑪能讀xia（也不知這是誰定的）：傅立葉說，我有祖傳配方，可算係數。於是就有了「傅立葉級數」。具體公式和計算方法一般的課本都有，在此不予討論。傅立葉級數根據上面的原理，我們可以將一些函數展開成「傅立葉級數」，比如，可以在一個周期內，將x^2展開：
  • 【Brain】腦信號處理必備技能:由淺入深掌握傅立葉變換、短時傅立葉變換和小波變換(最新)
    可見，傅立葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，但是對各成分出現的時刻並無所知。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。然而平穩信號大多是人為製造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅立葉變換這樣naive的方法。
  • 傅立葉變換光學基本原理(一)(理論學習者必看)
    傅立葉光學是信息光學的基礎，今天光電資訊為各位光學人整理了一些關於傅立葉變換的光學基本原理，今天跟大家帶來的是「衍射系統的屏函數和相因子判斷法
  • 用「泡麵」來解讀傅立葉
    傅立葉變換（Fourier Transform）是非常重要的數學分析工具，同時也是一種非常重要的信號處理方法。
  • 對傅立葉變換、拉氏變換、z變換詳細剖析
    1、關於傅立葉變換變換？所以，傅立葉變換之後，橫坐標即為分離出的正弦信號的頻率，縱坐標對應的是加權密度。對於周期信號來說，因為確實可以提取出某些頻率的正弦波成分，所以其加權不為零——在幅度譜上，表現為無限大——但這些無限大顯然是有區別的，所以我們用衝激函數表示。已經說過，傅立葉變換是把各種形式的信號用正弦信號表示，因此非正弦信號進行傅立葉變換，會得到與原信號頻率不同的成分——都是原信號頻率的整數倍。
  • 深入淺出的學習傅立葉變換
    事實上，許多數學功底好的數位訊號處理專業的同學也不一定理解傅立葉變換的真實含義，不能做到學以致用!本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/272577.htm　　事實上，傅立葉變換的相關運算已經非常成熟，有現成函數可以調用。對於絕大部分只需用好傅立葉變換的同學，重要的不是去記那些枯燥的公式，而是解傅立葉變換的含義及意義。
  • 搬運 | 小波分析科普:信號處理,傅立葉變換和海森堡不確定原理
    對工程師來說，小波變換和傅立葉變換一樣重要。那小波變換是啥？為啥如此重要？小波變換與傅立葉變換相比有何優劣？這將是這篇博客的主題。這篇博客說明工程師如何通過傅立葉變換重建信號，繼而討論傅立葉變換的局限性和海森堡不確定原理；最後解釋小波是如何做變換的，為何小波分析有更好的解析度而被工程師青睞。
  • 有趣的交互式傅立葉變換網站
    網站的BANNER傅立葉變換是一種在各個領域都經常使用的數學工具。這個網站將為你介紹傅立葉變換能幹什麼，為什麼傅立葉變換非常有用，以及你如何利用傅立葉變換幹漂亮的事。就像下面這樣：傅立葉變換是什麼簡而言之，傅立葉變換把一個輸入信號分解成一堆正弦波的疊加。就像大多數數學方法一樣，這個名字來自一個名叫傅立葉的人。讓我們從一些簡單的例子開始，然後繼續前進。首先，我們來看看什麼是波 —— 波隨著時間的推移，一直按照某一規律變化。
  • 六一禮物:給孩子解釋什麼是傅立葉變換
    那麼，這個從一杯橘子香蕉牛奶冰沙中獲取原材料和比例的過程也就可以類比於傅立葉變換的過程了。我們姑且稱之為「橘子香蕉牛奶冰沙的傅立葉變換」。為了理清思路，先回答以下幾個問題：1、「橘子香蕉牛奶冰沙的傅立葉變換」是做什麼的？答：得到一杯水果冰沙後，找出其中包含的各種成分及其性質。2、怎麼做？
  • 解讀「傅立葉變換」公式最直觀的來源
    前一篇文章說明了傅立葉變換形象直觀的原理，根據所述的原理來得出他直觀的變換公式：注意需要結合前一篇文章來理解。：前幾篇文章已經說明歐拉公式代表著一種旋轉運動，那肯定是複平面上進行，這樣才能表現的更加具體。
  • 傅立葉思想漫談:從希爾伯特空間到不確定性原理
    這一系列看似不盡相同的表達式，其本質都是傅立葉級數的變形。從復指數形式的傅立葉級數，我們可以更簡便地導出傅立葉變換的表達式以及一些更有價值的理論。這就是傅立葉變換發揮作用的地方，傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加，即傅立葉變換使得信號在時域和頻域上可以相互轉換，且不損失任何信息。本節開頭給出的傅立葉變換的公式是連續傅立葉變換，連續傅立葉變換的時間和頻率都是連續的，而計算機是無法處理連續的信號的。
  • 傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略
    傅立葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數(正弦和/或餘弦函數)或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅立葉變換和離散傅立葉變換。　　傅立葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。