傅立葉思想漫談:從希爾伯特空間到不確定性原理

©PaperWeekly 原創 · 作者｜Maple小七

緒言

傅立葉分析理論是數學史上最為輝煌的成就之一，由此發展和延伸出來的一系列理論在大量學科領域有著深刻的應用，讓一代代科學家家為之傾倒與奮鬥。因此，傅立葉級數展開式是大學本科數學基礎課的重點內容之一，也是廣大理工科學生最難以理解的公式之一。 

傅立葉級數往往會首先出現在本科一年級數學分析的教材中，可惜的是，大多數教材都太過嚴肅，它們往往從無窮多個簡諧振動的疊加原理引出三角函數系的概念，然後直接對傅立葉級數下定義，而沒有深入探討這裡面蘊藏的思想。

有了定義之後，教材就會直接給出周期延拓與收斂定理，並拋出一堆練習題，似乎只是為了把公式印在學生的腦子裡。面對這樣突兀奇怪的公式，大多數人只能死記硬背，且僅僅滿足於能套公式做題，完全忽略了傅立葉級數背後的美感與能夠顛覆人們世界觀的思維模式。

雖然筆者的本科專業是數學與應用數學，但直到大三學習隨機過程的時候（平穩過程的譜分析）才真正接觸到了傅立葉變換，遺憾的是，教材也僅僅讓我們記住變換公式及其一些有用的性質，沒有深入探討其蘊含的思想，更沒有將其與傅立葉級數對比。直到在泛函分析與數學物理方程的學習中，筆者才了解到了傅立葉級數與變換是如何與分析學和物理問題聯繫起來的，並漸漸領略到了傅立葉級數與變換及其一系列理論的精妙之處。

1.1 函數觀念的變革

約瑟夫·傅立葉是法國著名數學家，物理學家，他的一生並不平坦，甚至富有一些傳奇色彩。1807 年，傅立葉向巴黎科學院呈交了一篇關於熱傳導的論文《熱的傳播》，後被拉格朗日等人審閱後拒絕。傅立葉在 1811 年又提交了修改後的論文，修改後的論文雖獲了獎，但仍被批評其論證不夠嚴密。

傅立葉最後只能將自己的論文擴充成一本書，也就是他一生中最為輝煌的成就——《熱的解析理論》。該書出版兩年後，傅立葉被評為科學院的終身秘書，這是一個極有權力的職位，從而使得他的論文終於得以發表。

傅立葉在他的論文中大膽給出如下命題：

一個變量的任意函數，不論是否連續或不連續，都可展開為正弦函數的級數，而這正弦函數的參數為變量的倍數。但是歐拉，拉格朗日等人認為解析的正弦函數無法表示非解析的函數，即使被表示的函數是解析的，也不一定會有周期性。 不僅是這兩位數學家，18 世紀的大部分數學家都相信在特定區間上與正弦函數一致的函數也意味著在整個區間上與正弦函數是完全相同的，但實際上，這只是解析函數具有的性質，而歐拉等人將該性質錯誤地推廣到了一切函數上。傅立葉是第一個指出當一個函數在自變量的一個給定區間上確定時，在這個區間以外函數不能確定的數學家。他意識到只能在一段區間上而不是在整個定義域內用三角級數表示函數，超出這個特定區間展式不一定成立。除此之外，傅立葉還將奇函數與偶函數聯繫在一起，比如他曾將偶函數

傅立葉的做法遭到了很多數學家的反對，即奇函數和偶函數是不能互化的，但實際上，當考慮到公式的成立區間時，這種衝突就消失了。

雖然傅立葉的斷言嚴格上說是錯誤的，傅立葉本人也沒有給出證明（實際上，傅立葉級數收斂性的充分必要條件至今沒有人能夠給出），但這一斷言裡蘊藏的思想是極富有價值的，其直接改變了數學家對函數的概念，將人們從解析函數與可展成泰勒級數的函數中解放出來，引發了數學家對不連續函數的探討，使得泛函分析與調和分析等領域得以誕生。

三角級數收斂性問題更是刺激了集合論的建立，直接影響了 19 世紀的數學研究方向。直到現在，傅立葉分析也是現代分析數學的核心領域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學家為之傾倒與奮鬥。

當然，傅立葉一生的成就不僅僅只局限於熱力學與微分方程，傅立葉在他的論文中還提出了量綱齊次原理，他對方程論有很廣泛的研究，並在線性規劃和力學上也有研究，他也是最早使用定積分符號 溫室效應的發現者。這一系列成就也使得傅立葉在數學史上能與拉普拉斯，勒讓德等人齊名。接下來，我們將深入討論傅立葉級數、傅立葉分析理論方法的思想與應用。

漫談傅立葉級數

傅立葉級數的導出不乏很多精妙的方法，傅立葉級數本身起源於傅立葉在解下面的熱傳導方程時遇到的問題：2.1 內積空間中的傅立葉級數

空間是數學中最為重要的概念之一，當一個集合被定義了運算，就形成了空間。當我們定義了空間內元素的加法與乘法運算，並使其滿足八條特定規則，空間就有了線性的結構。除此之外，我們還希望空間能有長度，角度等概念。

當我們定義了滿足平移不變性和齊次性的長度概念後（若不滿足，則只能稱其為度量空間），線性空間就有了距離的結構，即賦范線性空間或 Banach 空間（不妨默認我們討論的距離空間均是完備的），當我們進一步定義了角度，就得到了內積空間或 Hilbert 空間，這時候，我們就有了正交與投影等概念。

Euclidean 空間可以說是最簡單的 Hilbert 空間，在二維和三維 Euclidean 空間中，長度（Norm），距離（Distance），垂直（Orthogonality）這些幾何概念都是很直觀的。然而，我們當然不能僅僅滿足於在幾何直觀上討論這些概念，我們完全可以將其抽象到

的概念了。不僅如此，向量空間的正交系，正交投影，正交分解這一系列概念都變得更加豐富了起來。

當然，在數學家眼中，向量和數字的概念一樣，都是抽象的，並不依賴於其表達的實際含義。

同樣，我們對函數空間也有了正交基的概念，即可以考慮函數的正交分解。因為對任何

易見由三角函數系生成的空間

這也就解釋了為什麼傅立葉級數的常數項要寫成

我們不僅僅只能對

對於一般的函數，我們可以對其做偶式延拓或奇式延拓將其展開為餘弦級數或正弦級數。

2.2 傅立葉級數的復指數形式

根據 Euler 公式，我們可以將三角級數形式的傅立葉級數簡寫為復指數形式，即由：

實際上，從泛函分析的角度來看，在 完備規範正交系，對應的傅立葉係數為：

這是因為由三角多項式族張成的子空間在

中看出。實際上，Parseval 恆等式其實可以看作是勾股定理的推廣，即矢量長度平方等於各正交分量長度平方之和。

這一系列看似不盡相同的表達式，其本質都是傅立葉級數的變形。從復指數形式的傅立葉級數，我們可以更簡便地導出傅立葉變換的表達式以及一些更有價值的理論。事實上，我們不只是能夠在三角函數正交基上對函數進行正交分解，函數在任何一組兩兩正交的函數族上的投影，被稱為廣義傅立葉級數或正交級數，且可以證明   Gram-Schmidt 正交化過程得到一組正交基，而這組正交基其實正是 Legendre 多項式，可用 Rodrigues 公式表示為：在數學物理方程中，我們知道勒讓德多項式也是勒讓德微分方程的解：

除了 Legendre 正交多項式外，傅立葉在解圓柱形熱傳導方程的時候得到了 Bessel 正交函數系，因此我們還可以將特定的

傅立葉所用的解法被 Sturm，Liouville 等人全面地予以普遍化，並給出了 Sturm-Liouville 本徵值問題的基本描述。實際上，從 Sturm-Liouville 本徵值問題中導出的本徵函數系都是完備的，也就是說函數可以在本徵函數系上進行廣義傅立葉級數展開。利用這一點，我們還得到了 Hermite 正交多項式、Laguerre 正交多項式等一系列正交系。

傅立葉分析，或稱調和分析的一個重要目的就是將一個給定的函數表示成一族給定的基函數的和。這個問題可以在 Hilbert 空間中更抽象地描述為：任何一個 Hilbert 空間都有一族標準正交基，而且每個 Hilbert 空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素的倍數的和。

調和分析是現代數學最為核心也是最為活躍的領域之一，也是一個年輕且富有挑戰性的領域。幾個世紀以來，調和分析已經形成了龐大的學科體系，並在數學、信息處理和量子力學等領域有著重要和深刻的應用。由此發展而來的還有小波分析等一系列領域，這些成就都是傅立葉本人未曾預料到的。

漫談傅立葉變換

在現實世界中，很少有函數是周期的，我們面對的更多函數是非周期的，傅立葉變換其實就是傅立葉級數的周期趨於無窮的情形，即：

第一個式子將時域函數

3.1 對偶原理

對偶性是數學中最優美也最珍貴的性質之一，對偶性即導致相同的結果，而表面上不同的理論之間的對應。對偶原理廣泛存在於不同的學科領域中，如線性規劃中的對偶問題，物理學中電與磁的對偶。對偶原理是一座橋梁，藉助於它，我們可以從數學某領域中的一定理走到另一定理（對偶定理）。

而傅立葉變換就是對偶性的絕佳體現。簡單來說，傅立葉變換展現了時域與頻域的對偶性，這使得對於同一個問題，我們可以分別從兩種角度研究，且得到的結論是一致的。

對偶性往往能簡化解決問題的步驟，比如傅立葉變換可以簡化卷積運算。卷積定理指出，函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積，即：

對於數位訊號處理而言，函數在時域中的卷積就相當於在頻域中的乘積，大大減少了卷積運算的運算量。除此之外，傅立葉變換的微分與積分等性質也具有對偶性：

這使得傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。

在更為抽象的調和分析和拓撲群理論中，對偶這個概念有個更深層且更加豐富的內容。其中龐特裡亞金對偶定理便解釋了傅立葉變換的一般性質，即對於一個局部緊阿貝爾群

雖然在本科教學中，數學的教學並不太關心其實際應用，我們並沒有接觸到信號與系統的相關領域，但傅立葉變換最廣泛的應用大概就是在數位訊號處理上了。當今世界是大數據的世界，聲音，圖像，都能夠被存儲在計算機中，如何處理並識別這些數據的模式，是當下最熱門的問題之一，這也催生了許多等新興學科的發展。

由於計算機無法識別連續的函數，只能處理離散的數據，因此離散傅立葉變換 （DFT）是信號處理最基礎的算法之一，從其衍生而來的還有著名的快速傅立葉變換（FFT），這些算法在聲音識別的連續信號採樣，圖像處理的特徵分析，電路的濾波和諧波分析等領域都有很廣泛的應用。

對於數學家而言，信號和向量，數字一樣，也是一種抽象的概念，信號指的是一段可以數位化的信息，它可以是聲音，也可以是圖像，總之只要能運載信息，它就可以被稱為信號。抽象地，信號可以被認為是函數，如聲音就是一元函數，自變量是時間，因變量是聲強，圖象是二元函數，自變量是橫縱坐標，因變量是像素色彩。

那麼要如何理解一個信號呢，用數學的語言，一般人都會想到根據信號本身的特性，將它們定義在時間或空間上。但這對理解信號的內容是完全不夠的，有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。

比如聲音，在時域上雜亂無章，但在頻域上卻清晰明了。這就是傅立葉變換發揮作用的地方，傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加，即傅立葉變換使得信號在時域和頻域上可以相互轉換，且不損失任何信息。本節開頭給出的傅立葉變換的公式是連續傅立葉變換，連續傅立葉變換的時間和頻率都是連續的，而計算機是無法處理連續的信號的。要處理離散的信號，就必須用到離散的傅立葉變換，離散傅立葉變換的時間和頻率都是離散的，將連續傅立葉變換公式以黎曼和的形式近似即可得到離散傅立葉變換公式：

對於二維的圖像而言，我們還需要引入二維離散傅立葉變換：

離散傅立葉變換本身有一些讓人驚奇的性質，比如對一個在空域很複雜的圖像，變換到頻域後卻很簡單。這是因為人眼看到的圖像，看似信息十分豐富，其實存在了大量冗餘。當對圖像進行傅立葉變換後，背景區域等灰度變化緩慢的區域，梯度較低，處於頻域中的低頻部分，邊緣、噪聲等灰度變化快的區域，梯度較高，處於頻域中的高頻部分。這使得我們只需要記錄那些少量不接近於零的頻域，就能夠還原圖片大部分信息。

這一特點也是當前大多數信息有損壓縮技術的基本思想，由於人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應於信號的細節，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的範圍內獲得很高的壓縮比。

這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅立葉變換完成的。將時域或空域的信號轉換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的係數，在解壓縮端採用逆變換即可重建信號。

快速傅立葉變換（FFT）是基於傅立葉變換本身的性質，對離散傅立葉變換算法進行一系列改進的算法統稱。這對傅立葉變換理論本身沒有貢獻，但改進後的算法能夠使得計算效率得到極大的改進，使得時間複雜度從

3.2.3 信號降噪與增強

對於數學家而言，噪聲也是抽象的概念，聲音中存在噪聲，圖像中也存在噪聲，任何現實數據都會有噪聲的存在。如何去除噪聲的影響，在任何領域都是一個不可忽視的問題。

信號中的有效成分和噪聲在時域會糾纏在一起，但有效成分和噪聲的頻率往往是不同的，在經過傅立葉變換之後，噪聲和有效成分在頻域上分別位於不同的頻率中，這時就可將其進行區分。降噪就是先將信號進行傅立葉變換，將變換後得到的數值中小於某一閾值的點置零，然後再進行傅立葉逆變換，於是就得到了降噪後的信號。

比降噪更為廣泛的概念是濾波，濾波即將信號中特定波段頻率濾除的操作，例如人聲消除就是將聲音中人聲音的頻段濾除。常見的濾波方式有維納濾波，卡爾曼濾波與非線性濾波。

同樣，我們可以將信號的細節部分放大，例如圖像的銳化。圖像的邊緣往往是信號的高頻部分，我們將信號的高頻部分增強，就能使得模糊的圖像變得更加清晰。同時，我們還可以提取圖像的高頻信號，以得到其邊緣與紋理信息。

信號的增強和去噪即是通過不同的傳遞函數

3.3 Laplace變換與Z變換

一個函數或者一個信號要存在傅立葉變換，往往需要滿足 Dirichlet 條件：狄利克雷條件是一個信號存在傅立葉變換的充分不必要條件，然而在大多數時候，Dirichlet 條件太過嚴格以至於現實中很多信號都無法滿足。

Dirichlet 條件的第一條很好的解釋拉格朗日和傅立葉之間的爭論，即正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號。如對矩形脈衝信號進行傅立葉展開，則稜角處會有很小的高頻波動，展開的項數越多，該波動峰值將趨於一個常數，但總能量是趨於相等的。這也說明了傅立葉級數在間斷點收斂的不一致性，在工程中這被稱為 Gibbs 現象。

Dirichlet 條件的第三條常常也難以滿足，傅立葉變換要求信號絕對可積，即只能對能量有限的信號進行變換，這使得傅立葉變換往往不適用於指數級增長的函數，如

Z變換的本質其實是離散時間傅立葉變換的推廣，與傅立葉變換類似，Z變換也可以把離散的卷積運算變成多項式乘法。傅立葉變換，拉普拉斯變換和Z變換是計算機中常常用到的變換。

3.3.2 線性積分變換

傅立葉變換，拉普拉斯變換都是下面的積分變換的特例：

其中傅立葉變換的核函數

我們可以從線性空間的角度理解不同的變換。在 Eulidean 空間中，同一個向量，如果採用不同的基向量來表示，那麼他們的坐標就不同，我們可以通過線性變換將向量在一個坐標系中的坐標轉化為在另一個坐標系中的坐標。推廣到函數空間，傅立葉變換就是將信號在時域中的坐標變換為了在頻域中的坐標。

同樣，傅立葉變換，拉普拉斯變換與 Z 變換也是將時域中信號的坐標轉換到了 F 域，L 域與 Z 域中的坐標，在不同的域我們能夠觀察到不一樣的信號特徵，比如在F域中分析頻譜響應，在 L 域中分析系統的穩定性，在Z域中設計濾波器。

實際上，傅立葉變換是一個很特殊的正交變換，其特殊性在於它的基為指數函數。指數函數 微分算子的特徵函數，這是因為它滿足特徵方程：

這其實也是常係數線性微分方程的特徵方程解法的原理，當我們把函數通過傅立葉變換或拉普拉斯變換表示成指數函數的線性組合後，常微分方程就變成了代數方程。實際的工程中有很多系統都是線性的，即使是非線性系統也常常用線性來近似，比如電路系統。只要系統能用線性方程來描述，都可以嘗試通過傅立葉級數與變換來分析與求解。

3.4 Gabor變換與小波變換

傅立葉變換是一個全局性的變換，因此它處理非平穩信號有天生缺陷。傅立葉變換隻能獲取一段信號總體上包含哪些頻率的成分，並不能給予關於信號頻率隨時間改變的任何信息，也就是時域相差很大的兩個信號，頻譜圖可能是一樣的。換句話說，傅立葉變換處理的信號需要有平穩性，然而平穩信號大多是人為製造出來的，自然界的信號幾乎都是非平穩的，因此在實際應用中，往往不會單純的採用傅立葉變換的方法。

由此，Gabor 提出了短時傅立葉變換（STFT），簡單來說，就是把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再分別進行傅立葉變換，這樣就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。為了達到這個目的，我們先讓函數乘上一個僅在一段時間不為零的窗函數

隨著 隨著窗函數大小的不同，變換會有不同的頻率和時間解析度。

然而，Gabor 變換也有缺陷，窗太窄，窗內的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率解析度差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間解析度低。這實際上也是我們後面要提到的不確定性原理。

因此，基於 Gabor 變換這一缺點，人們又設計出了小波變換，小波變換繼承和發展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點。在數學原理上，小波變換實際上是替換了傅立葉變換的基，將無限長的三角函數基換成了有限長的會衰減的小波基，即

其中 小波轉換式的編碼可以提供顯著的圖像品質改善，且給予更高的壓縮比率。不僅如此，小波變換計算複雜度只有 泛函分析、傅立葉分析、調和分析、數值分析的完美結合。在應用領域，特別是在信號處理、圖像處理、語音處理以及眾多非線性科學領域，小波變換解決了大量傅立葉變換無法解決的問題，它被認為是繼傅立葉分析之後的又一有效的時頻分析方法，也被譽為是調和分析發展史上裡程碑式的進展。

分數傅立葉變換是傅立葉變換的廣義形式，它提供了介於時域和頻域之間的多分數域信號表徵，為非平穩信號處理和線性時變系統分析開闢了新途徑。

分數傅立葉變換即做傅立葉變換  

其中

和空間中的變換一樣，分數傅立葉變換其實同樣可以看作是時頻平面的旋轉，當這個旋轉角度為 90 度時，就是一般的傅立葉變換。運用分數傅立葉變換，我們可以選取信息最集中的角度去分析，也就是在不同的分數階得到的結果中選取幅值最大的那個結果，那麼這個結果所存在的那個分數階就是最優階次。

這不得不使得我們聯想到多元統計分析中的主成分分析，主成分分析是統計學中常用的降維方法，可以看作是在空域中的變換。分數傅立葉變換中也存在類似的思想，可以看作是基於變換域的方法。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。線性標準變換是許多經典轉換的廣義化，是積分變換的一個大家族。

3.6 不確定性原理

傅立葉變換及其相關理論的思想深入到了自然學科的方方面面，對於某些看似並不相關的領域，傅立葉變換竟也能成功與其牽扯上關係，傅立葉變換在不同領域產生了巨大衝擊力，這是連傅立葉本人也始料未及的。

量子理論中的 Heisenberg 不確定性原理就是一個很好的例子。不確定性原理本身是量子力學特有的理論，但傅立葉變換從數學的角度給出了更深刻的解釋。在 20 世紀，傅立葉變換已經成為了量子力學的核心理論之一。

不確定性原理表明，粒子的位置與動量不可同時被確定，即對一者掌握得越清楚，對另一者就掌握得越模糊。位置的不確定性與動量的不確定性遵守不等式

其實，位置和動量的關係，類似於信號在時空域與頻域的關係，即任何信號的時空解析度和頻率解析度是不能同時被無限提高的，這一點我們在小波變換中已經提及。例如一個聲音越短促，我們就越不確定它的頻率，要清楚的確定一個聲音的頻率，我們必須得到足夠長的聲音片段，持續時間越長，我們對所確定出的頻率也越有把握。因此，我們也有信號中的不確定性原理：

實際上，不確定性原理在其他領域也有對應的解釋，在希爾伯特空間中，我們可以利用厄米算子從理論上導出廣義的不確定性原理：

不確定性原理在調和分析中也有對應的解釋，即 Paley-Wiener 定理：

實際上，很多物理或其他領域的定理都能在純粹的數學中找到相應的定理，這也就是為什麼數學被稱為科學的皇后。數學是一門高度抽象的學科，抽象的代價便是形象，抽象程度越高，概念也就變得越難以直觀理解，越偏離我們的常識，但抽象帶來的好處是遠遠大於其付出的代價的。只有對問題進行一層一層的抽象，我們才得以發現自然的定律，原理與本質。

結語

傅立葉思想漫談寫到這裡就結束了，在本文中，我們從宏觀的角度了解了傅立葉理論的起源與發展，可以看出來，從傅立葉級數與變換所發展起來的理論，深刻影響了兩百年來的自然科學體系，它幾乎存在於生活和科學的各個領域，毫不誇張地說，當前發達的網際網路信息社會也有傅立葉的一大功勞。

傅立葉分析顛覆了人們的思維模式與世界觀，讓人們能夠看到世界的另外一面，可惜由於傅立葉級數定義的抽象性，許多人都不想去理解它所蘊涵的思想。

其實數學的樂趣就在於此，當你正進行艱苦的思考、理解與探索，百思不得其解時，突然靈光一現，柳暗花明，領悟到了數學的邏輯美，這個過程帶來的樂趣與成就感是無可比擬的。

正如 Klein 所說：「音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，然而，數學卻能提供以上一切。」

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