傅立葉變換(一)—— 正交函數族

這個系列要總結一下傅立葉變換相關知識。由於涉及到的內容不少，我把它分開成幾部分。這一部分主要講述傅立葉分析的重要數學基礎——正交函數族。內容中涉及到現代分析學觀點而我又對此認識太過於淺薄，因而我只好盡我所能的寫了。 嚴肅陳述參見數學物理方法、泛函分析等書籍或文獻。

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通常而言，空間是日常活動的領域。數學上，空間是指一種具有特殊性質及一些額外結構的集合，是數學所探討的領域。

N維歐幾裡得空間

三維歐幾裡得空間就是剛提到的我們日常活動的領域，也同樣是我們尚可想像的最高維歐幾裡得空間。它是N維歐幾裡得空間的特例。任何有限維度的歐幾裡得空間都具有相同的結構特性：

在空間中可以任意選定互相垂直的N個基矢量

則空間中任意矢量v都可以唯一的表示為N個矢量的線性組合，即

or

ci分別是v在基矢量{un}上的投影，此時ci為矢量v在該坐標系下的坐標。這樣就建立了數組{ci})與矢量v的一一對映關係。{un}為構成了N維空間正交完備矢量族，完備則表現在通過線性組合可以無誤差的表示N維空間的任何矢量。

函數空間與向量空間的對應關係

在現代數學分析中，函數空間有著十分抽象的定義。現將定義在 [-π,π]上所有的連續函數納入到一個集合。那麼這些函數可任意進行加法和數乘運算，並且顯然運算後得到的函數仍屬於這個集合。我們就可以先把這個函數的集合理解為函數空間。

現在我們試著用向量空間中的元素來描述Sine函數的一個周期（閉區間）。在周期 [-π,π] 內進行等步長採樣，周期內採樣次數為n，那麼採樣位置序列x和函數值序列y都是n維向量：

n=2

此時相當於用2維點來描述Sine函數：

x=(-π,π)

y=(0,0)；

n=3 

用3維點來描述Sine函數：

x=(-π,0,π)

y=(0,0,0) ; 

n=4 

用4維空間中的點來描述Sine函數：

x=(-π,-π/3,π/3,π)

y=(0,-0.866,0.866,0) 

n=5

用5維空間中的點來描述Sine函數：

x=(-π,-π/2,0,π/2,π)

y=(0,-1,0,1,0) 

……

n

用n維空間中的點來描述Sine函數

那麼n越大，對函數的刻畫就越精確，只有n→∞時，無窮維向量y則可以完全描繪sine函數在一個周期的所有細節。這時，在區間 [-π,π]內，無限維向量y與連續函數sine具有一種對應。更進一步說，通過規定向量為函數的等步長函數值取值數列，任何在區間 [-π,π]上的函數就都可以有一個無限維向量唯一與之對應。換言之，存在一個無限維向量空間與線性連續函數空間等價。

希爾伯特空間

 

把歐氏空間的維度拓展至無窮大的過程遠比將三維空間推廣到4維或100維更加抽象，也具有更加深遠的意義。

有限維歐式空間的元素都有範數（有範數是指範數不為無窮大）

而這一重要性質在無窮維時被破壞了，對於無窮維向量(x1,x2,x3,...xn,...)，∑(xn)^2可能為無窮大因而範數不一定存在。比如，上述無限維向量y顯然不是平方可和數列（數列的∑(xn)^2<∞），而與它對應的sine函數則在區間 [-π,π] 是可積函數。因此我們可以在等價的向量和函數中選擇函數來重新定義內積：

那麼範數為：

這樣，只要函數為平方可積的，元素的範數就一定存在（不是無窮大）。容易驗證它們滿足內積和範數的幾個公理。閉區間上所有平方可積的函數按照函數的加法和數乘成為一個線性函數空間（即為平方可積空間，L^2空間）。因為該函數空間被抽象出「內積 + 線性」這兩個性質，這個函數空間也就順理成章的被歸入到希爾伯特空間中去了。

把歐氏空間的維度拓展至無窮大成為希爾伯特空間的意義就在於：無窮維的線性內積空間希爾伯特空間統一了向量空間和函數空間二者。

正交函數族

既然在一些情況下，函數空間和向量空間等價了。我們就可以用向量空間的慣有方式去研究函數空間。類似有限維歐幾裡得空間中具有N個正交基，現把區間[-π,π]上（平方可積）函數看作一個個的點或向量，如果我們找出函數空間的基（也就是坐標系），我們就像研究幾何問題一樣，將任意（平方可積）函數表示成基的線性組合。

其實這族基在人們還沒有抽象出希爾伯特空間之前的很長時間裡就存在了。通過經典數學分析可證明三角函數系具有這樣的積分特性：

將常數項1也納入三角函數族同樣可以得到這樣一族函數是兩兩正交的。令函數除自身的範數得到歸一化三角函數族：

現代分析學可以證明三角函數族是連續函數空間的完備函數族，是一組希爾伯特空間的基。就如歐氏空間的點可以表示成基矢量的線性組合一樣，任何在[-π,π]上的連續函數都可以表示為三角函數族的線性組合。

這一思想的數學表述就是傅立葉級數：

而求出係數的過程就是傅立葉變換。

連續函數空間的正交完備函數族除了三角函數族和復指數函數族外，還有勒讓德函數族，貝塞爾函數族，雅可比多項式以及切比雪夫多項式等。其中三角函數族和復指數函數族最為和諧自然的，這令到傅立葉級數與自然界的情況有著微妙的聯繫。宇宙中的物質大都處於一種狹義或廣義的振動態，而傅立葉級數的這組基函數恰好就是這種振動態的數學抽象。不得不說，這組基取得實在是太好了！

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傅立葉級數與音色的簡介：聲音的個性

SHOW TIME

文章的最後，終於要秀出我和我的團隊近年的研究成果：

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歐式空間和歐氏空間

Zhang.J.Y  et al.

歐式空間

歐氏空間

個人在數學領域研究的最高成就

一般人我不告訴你喔

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