無理數與無理數還不一樣--超越數簡談

2021-02-19 大老李聊數學

大家好，我是大老李。這期我們聊聊「超越數」，超越數是無理數的一種，所有超越數都無理數，但有些無理數不是超越數。我之前提到過，「如無必要，勿增實體」的奧卡姆剃刀原則，那我們為什麼要在無理數集合內，再挖出一個超越數的坑呢？

所以，我們一定要考慮一下，為什麼要定義「超越數」？這個問題還是可以從我們熟悉的無理數開始說起。我們熟悉的無理數，比如有，，還有就是, 這種數學常數。但你有沒有感覺、這種無理數，與同為無理數的e和pi的是不是有些區別呢？如果讓你在無理數裡面給數字分類，相信你肯定會把和分為一類，和分為另一類，那麼它們的區別在哪裡呢？

還是有區別的，這個區別可以用這智力題來體現：請你寫一個方程，使它有一個根是，但是方程本身不能出現？這個問題是不是太簡單了，比如就可以了。

同樣，這個問題你也可以換成其他數字，比如。找一個方程，它有一個解是，但方程本身不能出現。這個問題也挺簡單的，你可以先設，然後兩邊平方，再移項，再作平方等等。反正你只要知道平方能起到消根號的作用。具體過程留給聽眾推導了。

構造一個代數方程（係數為有理數的一元n次方程），使其有一個根為的簡單過程：設：

，兩邊平方，得：

，移項：

，再兩邊平方即可。

但現在我把數字換成會如何？找一個方程，它有一個解，但是方程本身不能出現？你是不是一下子傻了？你不能說這種方程，因為我規定方程裡不能有。這裡面你就能看出，一個根號2與的本質區別，不能用若干根號的加減乘除組合表示出來的，所以它不能成為我們 課堂上所學的那種代數方程的根。

代數方程就是我們在學校裡學的一元二次方程的擴展為一元n次方程。這裡面n是自然數，且方程的係數都是有理數。

而顯然和都不能用若干根號表示出來，否則我們很可能就不用引入和這兩個符號了對不對？因此數學家定義了，那種可以是代數方程根的數為「代數數」，這其中包括了所有有理數和那種可以用若干根號組合表示出來的無理數。而不可以的成為代數方程根的數，就叫做「超越數」。

那你可能又有問題了，區分代數數和超越數有意義嗎？沒有意義的話，就不應該引入對不對？你這個思路非常對，那麼數學家既然定義了超越數，那必然有用。

首先數學家發現，「幾乎」所有的實數都是超越數。哇，這是不是很吃驚？首先，這裡的「幾乎」這次詞是數學用語，如果你不知道「幾乎」的含義，那你可以搜索我之前的一期題為「我幾乎懂了」的節目。

「幾乎」所有的實數都是超越數這句話告訴我們：實數裡超越數是佔主要部分的，代數數與超越數相比是可以忽略不計的。對這個結論，了解一點無窮基數理論的聽眾可以這樣理解：我們知道有理數是可數集，也就是我們有一個方法可以把所有有理數一個一個寫下來，寫成一個序列，這個序列包含所有有理數。這樣感覺它們就可以數數一樣，所以稱為「可數」集。

然後數學家還發現如果把有理數擴展到代數數，仍然是可數的，代數數仍然是可以排隊排出來的。那我們已經知道實數是不可數，那麼結論就只有超越數是真正不可數的，所以說「幾乎所有實數都是超越數」。這是很反直覺的對不對？所以定義超越數就太有必要了，原來我們一直討論的實數，其實基本都是超越數啊。

但是，雖然我們知道「幾乎所有實數都是超越數」，證明一個數字是超越數卻非常難。比如你要證明不能用若干根號表示出來，你怎麼證明呢？其實到1768年，才第一次證明是無理數，而證明是超越數又過了100多年，要遲到1882年。也正因為證明了是超越數，人類才徹底解決了古希臘三大幾何難題中最難的一個「化圓為方」問題。

其原因在於我們已經證明尺規作圖只能作出特定形狀的一些代數數長度的線段，超越數長度的線段是不可能作出來的。所以證明pi為超越數，就證明「化圓為方」問題無解。

除了，數學家也證明了比如, ， ，這些數都是超越數。但是目前已經被被證明是超越數的數非常少，倒是很多感覺上必須是超越數的數，我們都還不能證明：比如，, ，, 等等，這些數是否是超越數，都未能證明。再比如以前節目中提到過的歐拉-馬斯刻若尼常數，雖然猜想是超越數，但現在都沒能證明這個數字是無理數。

由此可見，超越數雖然多，但是卻很神秘。

以上我們說明了無理數跟無理數還不一樣，那有沒有辦法更精細的對無理數分類的，比一比無理數中誰的「無理」程度「更高」呢？還真有人真麼做了。

1932年，荷蘭數學家庫爾特·馬勒就提出了一個實數的「無理性」度量，就是度量一個實數到底「無理」到什麼程度，取值範圍從0到無窮大的整數。對有理數來說，這個度量值就是0，因為它有理，一點不無理。對根號2來說就是1，這就是無理數裡面「無理」程度最小的。而超越數的無理數度量最小是2，比如現在知道的無理性度量上限是2.5等等。

好了，以上就是簡單介紹了一下超越數概念。其實它本身概念不難，但因為在今後節目中，大老李會時不時提到超越數這個概念，所以簡單介紹一下，下期再見！

參考連結：

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B8

喜馬拉雅：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/

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  • 無理數的出現導致了數學危機?或許無理數比我們想像的重要!
    事實上，數學的發展並不是一帆風順的，數學歷史上一共經歷了三次巨大的危機，一度動搖了數學的根基，其中無理數的出現就是其中之一。我們知道，數字可以簡單分為有理數和無理數，其中整數和分數統稱為有理數，而無限不循環小數和開根開不盡的數字被稱為無理數！古人認為，數字的存在通向著世界的本質，而世界是完美無瑕的，因此數字也是完美無瑕的。
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  • 萬有引力常數G是有理數還是無理數?
    鑑於萬有引力常數是一個小數，那麼，它究竟是有理數還是無理數呢？事實上，萬有引力常數並非真正意義上的常數，它可以是一個有理數，也可以是一個無理數。原因在於萬有引力常數是有量綱的，它的大小會隨著單位制的變化而改變，可以變成任意數值。在國際單位制下，萬有引力常數與米、千克和秒有關，而這些單位都是人為定義的。
  • π真的是一個無理數嗎?
    說起π，大家一定都不陌生。 自從小學接觸圓以來，π就成為我們數學學習中一個重要的數字。 我們都知道，圓的周長和直徑的比是π，也知道圓的面積也與π有關。 但與此同時，π又是一個有些神秘的數字，它無法用一個分數表達出來，且尾數無窮無盡。漸漸地，隨著我們對數學更深入的學習，我們知道了π和e與根號2一樣，是無理數大家庭中的一員。
  • 你們要的證明來了——證明歐拉數e是無理數
    超越數不是多項式的有理係數的根。有些無理數是先驗的(比如e和π)，但有些不是。後者稱為代數數，可以是有理數多項式的根。圖2所示為：實數R(包括本論文中所述的實超越數和實代數數)、無理數、有理數Q、整數Z和自然數N(源)。
  • 從「一切無理數可以表示為無窮級數」來談談數的來源
    無理數，也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。常見的無理數有非完全平方數的平方根、圓周率π和自然對數e（π、e均為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。
  • 圓周率有沒有可能根本就不是無理數?
    原因很簡單，數學家們早就證明了π確實是無理數，證明過程並不太複雜，這裡不再詳述，有興趣的簡單搜索就能找到答案！ 所以，既然已經證明了π是無理數，它就是無理數，不可能是有理數！不過很多人對π是無理數感到有些不解。