編輯按：
弗裡曼•戴森 （Freeman Dyson）1923年12月15日出生，美籍英裔數學物理學家，普林斯頓高等研究院自然科學學院榮譽退休教授。
戴森早年在劍橋大學追隨著名的數學家G.H.哈代研究數學，二戰結束後來到美國康奈爾大學，跟隨漢斯•貝特教授。他證明了施溫格和朝永振一郎發展的變分法方法和費曼的路徑積分法的等價性，為量子電動力學的建立做出了決定性的貢獻。1951年他任康奈爾大學教授，1953年後一直任普林斯頓高等研究院教授。
《鳥和青蛙》(Birds and Frogs)是戴森應邀為美國數學會愛因斯坦講座所起草的一篇演講稿，該演講計劃於2008年10月舉行，但因故被取消。這篇文章全文發表於2009年2月出版的《美國數學會志》（NOTICES OF THE AMS, VOLUME56, Number 2）。
經美國數學會和戴森授權，科學時報記者王丹紅全文翻譯並在科學網上發布這篇文章。
有些數學家是鳥，其他的則是青蛙。鳥翱翔在高高的天空，俯瞰延伸至遙遠地平線的廣袤的數學遠景。他們喜歡那些統一我們思想、並將不同領域的諸多問題整合起來的概念。青蛙生活在天空下的泥地裡，只看到周圍生長的花兒。他們樂於探索特定問題的細節，一次只解決一個問題。我碰巧是一隻青蛙，但我的許多最好朋友都是鳥。
這就是我今晚演講的主題。數學既需要鳥也需要青蛙。數學豐富又美麗，因為鳥賦予它遼闊壯觀的遠景，青蛙則澄清了它錯綜複雜的細節。數學既是偉大的藝術，也是重要的科學，因為它將普遍的概念與深邃的結構融合在一起。如果聲稱鳥比青蛙更好，因為它們看得更遙遠，或者青蛙比鳥更好，因為它們更加深刻，那麼這些都是愚蠢的見解。數學的世界既遼闊又深刻，我們需要鳥們和青蛙們協同努力來探索。
這個演講被稱為愛因斯坦講座，應美國數學會之邀來這裡演講以紀念阿爾伯特•愛因斯坦，我深感榮幸。愛因斯坦不是一位數學家，而是一位融合了數學感覺的物理學家。一方面，他對數學描述自然界運作的力量極為尊重，他對數學之美有一種直覺，引導他進入發現自然規律的正確軌道；另一方面，他對純數學沒有興趣，他缺乏數學家的技能。晚年時，他聘請一位年輕同事以助手身份幫助他做數學計算。他的思考方式是物理而非數學。他是物理學界的至高者，是一隻比其他鳥瞭望得更遠的鳥。但今晚我不準備談愛因斯坦，因為乏善可陳。
弗蘭西斯•培根和勒奈•笛卡爾
17世紀初，兩位偉大的哲學家，英國的弗蘭西斯•培根（Francis Bacon）和法國的勒奈•笛卡爾（Rene Descartes），正式宣告了現代科學的誕生。笛卡爾是一隻鳥，培根是一隻青蛙。兩人分別描述了對未來的遠景，但觀點大相逕庭。培根說：「一切均基於眼睛所見自然之確鑿事實。」笛卡爾說：「我思，故我在。」
按照培根的觀點，科學家需要週遊地球收集事實，直到所積累的事實能揭示出自然的運動方式。科學家們從這些事實中推導出自然運作所遵循的法則。根據笛卡爾的觀點，科學家只需要呆在家裡，通過純粹的思考推導出自然規律。為了推導出正確的自然規律，科學家們只需要邏輯規則和上帝存在的知識。
在開路先鋒培根和迪卡爾的領導之下，400多年來，科學同時沿著這兩條途徑全速前進。然而，解開自然奧秘的力量既不是培根的經驗主義，也不是笛卡爾的教條主義，而是二者成功合作的神奇之作。400多年來，英國科學家傾向於培根哲學，法國科學家傾向於笛卡爾哲學。法拉弟、達爾文和盧瑟福是培根學派；帕斯卡、拉普拉斯和龐加萊是迪卡爾學派。因為這兩種對比鮮明的文化的交叉滲透，科學被極大地豐富了。這兩種文化一直在這兩個國家發揮作用。牛頓在本質上是笛卡爾學派，他用了笛卡爾主義的純粹思考，並用這種思考推翻了渦流的笛卡爾教條。瑪麗•居裡在本質上是一位培根學派，她熬沸了幾噸的瀝青鈾礦渣，推翻了原子不可毀性之教條。
在20世紀的數學歷史中，有兩起決定性事件，一個屬於培根學派傳統，另一個屬於笛卡爾學派傳統。第一起事件發生於1900年在巴黎召開的國際數學家大會上，希爾伯特（Hilbert）作大會主題演講，提出了23個未解決的著名問題，繪製了即將來臨的一個世紀的數學航道。希爾伯特本身是一隻鳥，高高飛翔在整個數學領地的上空，但他聲稱，他的問題是給在同一時間只解決一個問題的青蛙們。第二起決定性事件發生在20世紀30年代，數學之鳥——布爾巴基學派（Bourbaki）在法國成立，他們致力於出版一系列能將全部數學框架統一起來的教科書。
在引導數學研究步入碩果纍纍的方向上，希爾伯特問題取得了巨大成功。部分問題被解決了，部分問題仍懸而未決，但所有這些問題都刺激了數學新思想和新領域的成長。布爾巴基綱領有同等影響，通過帶入以前並不存在的邏輯連貫性、推動從具體實例到抽象共性的發展，這個項目改變了下一個50年的數學風格。在布爾巴基學派的格局中，數學是包含在布爾巴基教科書中的抽象結構。教科書之外均不是數學。自從在教科書中消失後，具體實例就不再是數學。布爾巴基綱領是笛卡爾風格的極端表現。通過排除培根學派旅行者們在路旁可能採集到的鮮花，他們縮小了數學的規模。
自然的玩笑
我是一個培根學派的信徒。對我而言，布爾巴基綱領的一個主要不足是錯失了一種驚喜元素。布爾巴基綱領努力讓數學更有邏輯。當我回顧數學的歷史時，我看見不斷有非邏輯的跳躍、難以置信的巧合和自然的玩笑。大自然所開的最深刻玩笑之一是負1的平方根，1926年，物理學家埃爾文•薛丁格（Erwin Schrodinger）在發明波動力學時，將這個數放入他的波動方程。
當薛丁格開始思考如何將光學和力學統一時，他就是一隻鳥。早在100多年前，藉助於描述光學射線和經典粒子軌跡的相同數學，漢密爾頓統一了射線光學和經典力學。薛丁格也希望用同樣的方式來統一波動光學和波動力學。當時，波動光學已經存在，但波動力學尚未出現。薛丁格不得不發明波動力學來完成這一統一。開始時，他將波動光學作為一個模型，寫下機械粒子的微分方程，但這個方程沒有任何意義。這個方程看起來像連續介質中的熱傳導方程。熱傳導與粒子力學之間沒有可見的相關性。薛丁格的想法看起來沒有任何意義。然而，奇蹟出現了。薛丁格將負1的平方根放入機械粒子的微分方程，突然間，它就有意義了。突然間，它成為波動方程而不是熱傳導方程。薛丁格高興地發現，這個方程的解與玻爾原子模型中的量化軌道相吻合。
結果，薛丁格方程準確描述了我們今天所知原子的每一種行為。這是整個化學和絕大部分物理學的基礎。負1的平方根意味著大自然是以複數而不是實數的方式運行。這一發現讓薛丁格和其他所有人耳目一新。薛丁格記得，當時，他14歲大的「女朋友」伊薩•榮格爾（Itha Junger）曾對他說：「嗨，開始時，你從來沒想過會出現這麼多有意義的結果吧？」
在整個19世紀，從阿貝爾（Abel）、黎曼（Riemann）到維爾斯特拉斯（Weierstrass），數學家們一直在創建一個宏大的複變函數理論。他們發現，一旦從實數推進到複數，函數論就變得更深刻更強大。但是，他們一直將複數看作是人造結構，是數學家們從真實生活中發明的一種有用、優雅的抽象概念。他們未曾料到，他們發明的這個人工數字事實上是原子運行的基礎。他們從未想像過，這個數字最初是出現在自然界。
大自然所開的第二個玩笑是量子力學的精確線性。事實上，物理對象的各種可能狀態構成了一個線性空間。在量子力學被發明之前，經典物理總是非線性的，線性模式只是近似有效。在量子力學之後，大自然本身突然變成了線性。這對數學產生了深刻的影響。19世紀，索菲斯•李（Sophus Lie）發展了他關於連續群的精緻理論（elaborate theory），以期弄清楚經典力學系統的行為。當時的數學家和物理學家對李群幾乎沒有任何興趣。李群的非線性理論對數學家來說過於複雜，對物理學家來說又過於晦澀。索菲斯•李在失望中離開了人世。50年後，人們發現大自然本身就是線性的，李代數的線性表示竟然是粒子物理的自然語言。作為20世紀數學的中心主題之一，李群和李代數獲得了新生。
大自然的第三個玩笑是擬晶體（Quasi-crystals）的存在。19世紀，對晶體的研究導致了對歐幾裡德空間中可能存在的離散對稱群種類的完整列舉。人們已經證明:在三維歐幾裡德空間中，所有離散對稱群僅包含3級、4級或6級的旋轉。之後，1984年，擬晶體被發現了，從液體金屬陣列中長出的真正固體物顯示了包含5重旋轉的二十面體的對稱性。與此同時，數學家羅傑•彭羅斯（Roger Penrose）發現了平面「彭羅斯拼磚法」。擬晶陣列是二維彭羅斯拼磚法的三維模擬。在這些發現之後，數學家不得不擴大晶體群理論，將合金擬晶體包含其中。這是還在發展中的一個重要研究項目。
大自然開的第四個玩笑是擬晶和黎曼ζ函數零點（zeros of the Riemann Zeta function）在行為的相似性。黎曼ζ函數零點令數學家們著迷，因為所有的零點都落在一條直線上，沒有人知道這是為什麼。著名的黎曼猜想是指：除了平凡的例外，黎曼ζ函數零點都在一條直線上。100多年來，證明黎曼猜想一直是年輕數學家們的夢想。我現在大膽提議：也許可以用擬晶體來證明黎曼猜想。你們中的部分數學家也許認為這個建議無關緊要。那些不是數學家的人可能對這個建議不感興趣。然而，我將這個問題放到你們面前，希望你們嚴肅思考。年輕時的物理學家裡奧•齊拉特（Leo Szilard）不滿意摩西的十條誡命，寫了新十誡來替換它們。齊拉特的第二條誡律說：「行動起來，向有價值的目標前進，不問這些目標是否能達到：行動是模範和例子，而不是終結。」 齊拉特踐行了他的理論。他是第一個想像出核武器的物理學家，也是第一個積極以行動反對核武器使用的物理學家。他的第二條誡律也適用於這裡。黎明猜想的證明是一個值得為之的目標，我們不應該問這個目標是否能實現。我將給你們一些這個目標可以實現的暗示。我將給數學家們一些建議，這是我在50年前成為一名物理學家之前獲得的忠告。我先談黎明猜想，再談擬晶體。
直到最近，純數學領域還有兩個未解決的超級問題：費馬大定理的證明和黎曼猜想的證明。12年前，我在普林斯頓的同事安德魯•懷爾斯（Andrew Wiles）證明了費馬大定理，如今，只剩下黎曼猜想有待證明。懷爾斯對費馬大定理的證明不只是一個技術絕技，它的證明還需要發現和探索數學思想的新領域，這比費馬大定理本身更遼闊更重要。正因如此，對黎曼猜想的證明也將導致對數學甚至物理學諸多不同領域的深刻認識。黎曼ζ函數和其他ζ函數也類似，它們在數論、動力系統、幾何學、函數論和物理學中普遍存在。ζ函數仿佛是通向各方路徑的交叉結合點。對黎曼猜想的證明將闡明所有這些關聯。就像每一位純數學領域裡嚴肅的學生一樣，我年輕時的夢想是證明黎曼猜想。我有一些模糊不清的想法，認為可以引導自己證明這個猜想。最近幾年，在擬晶體被發現後，我的想法不再模糊。我在這裡把它們呈現給有雄心壯志贏得菲爾茨獎的年輕數學家們。
擬晶體存在於一維、二維和三維空間。從物理學的角度看，三維擬晶體最為有趣，因為它們棲息於我們的三維世界，可以通過實驗加以研究。從數學家的角度來看，一維擬晶體比二維和三維擬晶體更為有趣，因為它們種類繁多。數學家這樣定義擬晶體：一個擬晶體是離散點群的分布，它們的傅立葉變換是離散點頻率。或簡而言之，一個擬晶體是一個有純點譜的純點分布。這個定義包括了作為特例的普通晶體，它們是擁有周期譜的周期分布。
將普通晶體排除在外，三維中的擬晶體只有極為有限的變形，它們均與二十面體有關。二維擬晶體數目眾多，粗略地講，一個獨特的類型與平面上每個正多邊形都相關聯。含五邊 形對稱的二維擬晶體是著名的平面彭羅斯拼磚。最後，一維擬晶體有更為豐富的結構，因為它們不受制於任何旋轉對稱。就我所知，目前還沒有對一維擬晶體存在情況的全數調查。現已知，一種獨特擬晶體的存在與每個皮索特-維貢伊拉卡文數（pisot Vijayaraghavan number）或PV數對應。一個PV數是一個真正的代數整數，是有整數係數（integer coefficients）多項式方程的根，其他所有根的絕對值都有小於1的絕對值。全部PV數的集合是無限的，並有非凡的拓撲結構。所有一維擬晶體的集合都有一種結構，其豐富程度可與所有的PV數集合相比，甚至更豐富。我們並不確切地知道，一個由與PV數沒有關聯的一維擬晶體構成的大世界正等待探索。
現在談一維準晶體與黎曼猜想的聯繫。如果黎曼猜想是正確的，那麼根據定義，ζ函數零點就會形成一個一維擬晶體。它們在一條直線上構成了點質量（point masses）的一個分布，它們的傅利葉變化同樣也是一個點質量分布，前者的點質量位於每個素數的對數處，其傅立葉變換點質量位於每個素數的冪的對數處。我的朋友安德魯•奧德澤科（Andrew Odlyzko）發表了一個漂亮的ζ函數零點的傅利葉變換的計算機運算。這個運算精確地顯示了傅利葉變換的預期結構，在每一個素數或素數的冪的對數上有明顯的間斷性。
我的推測如下。假設我們並不知道黎曼猜想是否正確。我們從另一個角度來解決問題。我們努力獲得一維擬晶體的一個全數調查和分類。這就是說，我們列舉和分類擁有離散點譜的所有點分布。對新對象的收集和分類是典型的培根歸納活動。這也是適合於青蛙型數學家的活動。然後，我們發現眾所周知的與PV數相關的擬晶體，以及其它已知或未知的擬晶體世界。在其它眾多的擬晶體中，我們尋找一個與黎曼ζ函數相對應的擬晶體，尋找一個與其它類似黎曼ζ函數的每個ζ函數相對應的擬晶體。假設我們在擬晶體細目表中找到了一個擬晶體，其性質等同於黎曼ζ函數零點。然後，我們證明了黎曼猜想，等待宣布菲爾茨獎的電話。
這是一種妄想。對一維準晶體進行分類極其困難，其困難程度不壓於安德魯•懷爾斯花7年時間所解決的問題。但是，如果我們以培根主義者的觀點來看，數學的歷史就是駭人聽聞的困難問題被初生牛犢不怕虎的年輕人幹掉的歷史。對擬晶體分類是一個值得為之的目標，甚至是可以實現的目標。這個問題的困難程度不是像我這樣的老人能解決的，我將這個問題作一個練習留給聽眾中的年輕青蛙們。