牛頓-萊布尼茨公式的解讀和應用

2021-02-19 浮生的電氣感悟

牛頓-萊布尼茨公式的解讀和應用

數學是工具，必須有足夠的水平，才能在專業水平上有更好的發展。 

從定積分的幾何意義，可以看出，微積分可以計算面積，可以進一步延伸，計算各種物理量。而牛頓和萊布尼茨兩個數學家在17世紀七八十年代分別獨立搞出的這個公式，大大簡化了這個定積分的計算，現在被稱為牛頓-萊布尼茨公式。

計算面積，在初等數學當中有固定公式。例如三角形，矩形，梯形，正方形，菱形，圓形等形狀的面積公式，我們都非常熟悉。如果正玄波和X軸所夾面積，y=x與y=x²兩條線所夾的面積，就不好用初等數學的方法來計算了，常規的方法就是微積分了，比較輕鬆的就出來了。微積分的理念就是先分成多個很微小的部分，每個小部分近似成初等數學當中的一個形狀，計算，再疊加，就是積分。總結出一套規律，就是微積分的很多性質。而牛頓-萊布尼茨公式出現之前，這個計算就比較繁瑣。

當然，微積分裡面也涉及了一些極限和連續的概念。有很多常見內容是可以推導的，例如圓周率π，可以通過圓的內接正六邊型近似計算圓的面積，進一步12,24,48,96……最終無限大之後，跟圓的面積就相等了，我國古代通過實測確定了近似值，公元3實際，數學家劉徽（公元225-295）把π計算到了3.1416，他認為之前的3.14精確度不夠，所以繼續計算了，而方法跟現在大學教材高等數學的極限理念是一樣的，而同濟版大學教材也很直接的說了，這個極限跟那個時代的理念是一致的。

劉徽（被稱為中國的牛頓）的割圓術，是中國古代數學中一個非常精彩的算法，這是極限概念，而且是雙向迫近。200年後的祖衝之（公元429-500），是按劉徽的方法計算到3.1415926和3.1415927之間的。因為劉徽覺得3.1416就足夠工程精度需要了，沒有繼續計算，他的方法本身是可以無限計算下去的，精度會無限提高，但當時只是按最基本的勾股定理計算疊加，計算量很大。

文章本天成，妙手偶得之。

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  • 牛頓、萊布尼茨創立的微積分
    《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的後半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年，牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704)，在這裡，牛頓的微積分思想發生了重大變化，他放棄了微元或無窮小量，而採用了最初比和最後比的方法。
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  • 【物理學史】牛頓、萊布尼茨創立的微積分
    《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的後半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年，牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704)，在這裡，牛頓的微積分思想發生了重大變化，他放棄了微元或無窮小量，而採用了最初比和最後比的方法。
  • 人類最美的24張數學畫|高維|歐拉|數學|牛頓-萊布尼茨|伽羅瓦
    04微積分Calculus發現者 牛頓、萊布尼茨發現時間 1684年公式圖解插圖中，一隻短腿烏龜奮力爬行，海神之子「阿喀琉斯」正打算追上它。插圖左側拋出蘋果的是牛頓，與之相對的則是拋出「二進位」的萊布尼茨。在蘋果與「二進位」之間，則是著名的微積分公式。牛頓與萊布尼茨都被數學界視為是微積分的發現者，兩人曾因誰先發現微積分有過一場浩大持久的爭奪戰，但在溘然長逝之後，兩人又因牛頓-萊布尼茨公式牢牢綁在一起。
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    科學的盡頭是神學，我曾經看到多篇類似這樣的文章，其中有兩個用的比較頻繁的例子，其中有一個，大概的論點是牛頓即使是位科學巨匠，但在晚年也一樣沉迷於神學與鍊金術。而牛頓有30多種不同語言，譯文版本的《聖經》，他花在研究比較他們的時間與研究引力的時間相當。人們都知道三人成虎這個成語，當一個人說前面有老虎的時候，你會不信，當兩人說的時候，你開始半信半疑，當一大群人潮湧般一般跑一邊喊「老虎來了」的時候，你信不信呢。所以不是牛頓研究科學到深處發現是神學，而是他一直就在時代大環境的影響下信仰者上帝。