數學和物理的又一次相遇:量子力學導出300年前的圓周率公式

2021-02-18 環球科學

來源 美國物理聯合會（AIP）

翻譯 徐麗

審校 丁家琦


這兩頁出自於約翰·沃利斯（John Wallis）所著的《無窮算術》（Arithmetica Infinitorum）。左圖的表格中，反覆出現的方格代表著4/π，或者是一個正方形與其內切圓的面積之比。沃利斯根據此表格推出右圖上方的不等式，最終得出圓周率公式。圖片來源：Google

1655年，英國數學家約翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本數學專著，其中他推導出一個公式，發現圓周率等於無窮個分數相乘的積。現在，羅切斯特大學的科學家們則有了另一重大發現，他們在氫原子能級的量子力學計算中發現了相同的公式。

「我們並沒有刻意尋找沃利斯關於圓周率的公式，它完全是個意外驚喜，」羅切斯特大學的粒子物理學家卡爾·哈根（Carl Hagen）表示。在注意到量子力學課堂上給學生布置的習題集的解法中的有趣規律之後，哈根找到數學家塔馬·弗裡德曼（Tamar Friedmann）研究了一下，發現這一規律是沃利斯圓周率公式的另一種形式。

「這太出乎意外了，當我從氫原子方程中得到沃利斯公式時，我興奮得手舞足蹈，」弗裡德曼說道，「最特別之處在於，它在物理與數學之間找到了一條奇妙的關聯。一個17世紀的純數學公式竟然能用於描述300年後建立的物理體系，這簡直是太神奇了，不是嗎？」

科學家們在《數學物理雜誌》（Journal of Mathematical Physics）上報導了這一發現。

在量子力學中，有一種計算技巧叫做「變分法」（variational approach）：有些量子體系（如分子）的能量狀態無法被精確計算，則可以通過變分法來近似計算。哈根當時正在給學生教授變分法，他想讓學生將變分法應用到真實物體——氫原子上。氫原子是一類非常罕見的量子力學系統，其能級可被準確計算出來，因此，通過用變分法近似計算並將結果與精確解法得到的結果進行對比，學生們就能計算出近似方法的偏差。


塔馬·弗裡德曼（Tamar Friedmann）與卡爾·哈根（Carl Hagen）的計算結果表明，π可以由特定的數學函數（稱為Γ函數）導出。圖片來源：Tamar Friedmann and Carl Hagen/University of Rochester

當哈根開始獨自研究這一問題時，他立刻注意到一個規律。變分法的偏差對於氫原子基態是15%，對於第一激發態則是10%，隨著激發態能級的不斷增大，偏差也越來越小。這並不符合一般規律，因為變分法往往計算最低能級時最為準確。

哈根找到弗裡德曼，想一起看看繼續提高能量會有什麼新發現。他們發現，變分法的極限接近於物理學家尼爾斯·玻爾（Niels Bohr）在20世紀初期所提出的氫原子模型，其中電子軌道被描述為正圓形。這也是玻爾的對應原理所產生的自然結果——該原理認為對於大半徑的軌道，量子系統的行為可用經典物理學來描述。

「在能量較低的軌道，電子的運動軌跡是模糊而彌散的，」哈根解釋道，「在更高的激發態，軌道被限定在更加清楚明確的區域內，且半徑的不確定性也降低了。」


18世紀沃利斯發現的經典圓周率公式。圖片來源：University of Rochester

隨著能量的增加，從變分解的極限公式裡，哈根和弗裡德曼找到了沃利斯的圓周率公式。

量子力學理論在20世紀初期誕生，而沃利斯圓周率公式已經存在了數百年，但這兩者之間的內在關聯直到今天才被發現。「大自然竟將這個秘密藏了近80年，」弗裡德曼說道，「我很開心我們最終還是發現了它。」

原文連結：http://phys.org/news/2015-11-derivation-pi-links-quantum-physics.html

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