一個四邊形中非常重要的定理—託勒密定理(1.25)

今天和大家一起來學習四邊形中一個非常重要的定理——託勒密定理。

我們先簡單介紹一下誰是託勒密。

克羅狄斯·託勒密（約100年—170年），是希臘數學家，天文學家，地理學家和佔星家。（詳盡內容可查看百度百科）

他在數學上的最出名的貢獻就是，論證了四邊形的特性，即有名的託勒密定理。

託勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等於兩組對邊乘積之和。

如圖：

則有：AB﹒CD+AD﹒BC=AC﹒BD

證明：如圖，

在AC上找一點E，使∠EDC=∠ADB，

又因為，∠ECD=∠ABD

則可以證明：△EDC∽△ADB

由相似的性質可得，

即，AB﹒DC =EC﹒DB

如圖，

由於∠EDC=∠ADB

可得，∠BDC=∠ADE

又因為，∠DBC=∠DAE

可證，△DBC∽△DAE

則可得，

即，BC﹒DA =AE﹒DB

有以上結論，

AB﹒DC =EC﹒DB

BC﹒DA =AE﹒DB

可證明，AB﹒CD+AD﹒BC=AC﹒BD

可見此定理的證明難點在於構造了相似的三角形，然後靈活地應用相似三角形的性質，得到圓內接四邊形各個線段之間的關係，託勒密定理。所涉及的知識均是九年級數學所學內容，所以託勒密定理的證明同學們要多加體會。

下面給出定理的幾個推論：

託勒密不等式：

AB﹒CD+AD﹒BC≥AC﹒BD

如圖，證明略

例如：上一篇提到的問題：

如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠A=60°，點P是△ABC外一點，BP=6，CP=3，則線段0P的最大值為：

證明：如圖，根據託勒密不等式可知，

下面介紹託勒密定理的幾個典型應用，以供大家研讀：