溫度是宏觀物質系統的一個固有屬性，是經驗的總結；溫標是溫度在物態方程中的具體顯現，需要人為規定。絕對溫度揭示了宇宙間一種絕對的存在，絕對零度是一種理論的真實。
撰文 | 劉全慧(湖南大學物理與微電子科學學院)
來源：中國物理學會期刊網
1 溫度是一個抽象但可以測量的物理量
圖1 抗疫期間都在量體溫。那麼，什麼是溫度？
溫度是否可以測量？沒有量熵儀，沒有自由能測量儀，也沒有夸克質量測量儀器等等，但是有溫度計。從計量儀器的角度上，溫度是可以測量的！或者說在物理學的角度上，溫度是可以測量的！另外一方面，測量溫度的時候，測量的實際是水銀柱的長度，輻射通量等，這些都不是溫度本身。在這種意義上，溫度是一個抽象的概念，是不能直接測量的！這裡需要一點哲學思辨。
測量溫度和溫度計之間的關係，有點像吃水果和吃蘋果的關係。水果是抽象的，而蘋果是具體的。水果是吃不到的，但能吃到蘋果和櫻桃等。美學中也有類似的問題。儘管每個人在每個時間段的審美標準不同，但是美是存在的，同時也是抽象的。儘管大漠孤煙直或者蒙娜麗莎的微笑這些具體的美感都可以捕捉並描敘，但是美本身難以定義。黑格爾的美學思想有一個觀點認為美是理念的感性顯現。當然，美是否具有客觀存在是一個問題，這一點和溫度的完全客觀性不同。
2 愛因斯坦和楊振寧論溫度
根據考證[1]，1624 年就出現了溫度計一詞，1640-1660 年間出現了現代溫度計的雛形。當時，人們不清楚溫度計量度的是「溫度」還是「熱度」，也不知道區別溫度和熱。英國人J. Black 首先區別熱和溫度這兩個基本概念，他生活的年代是1728-1799 年。從溫度計的出現到區別熱和溫度，人類至少花費了一個世紀的時間。愛因斯坦對此有專門評述[2]：「The most fundamental concepts in the description of heat phenomena are temperature and heat. It took an unbelievably long time in the history of science for these two to be distinguished， but once this distinction was made rapid progress resulted.」(在描述熱現象時，最基本的概念是溫度和熱。在科學史中，區別二者花費的時間難以置信得長，不過，知道二者的不同之後的發展迅猛。)
理解熱和溫度的差別，首先需要利用已知的知識。在物理的入門處，是牛頓力學，如果局限在一個多世紀前的認識水平，還可以認為牛頓力學在本質上是決定論性的。在初步的牛頓力學基礎上建立熱和溫度的圖像，對於初學者是有益的，這就是所謂氣體分子運動論。如果分子之間沒有相互作用，分子的能量就是動能。那麼，熱就是所有分子的動能之和！分子的平均動能就可以用來刻畫溫度！封閉盒子裡的分子處於熱力學平衡時具有相同的平均動能，也就是封閉盒子內部處處溫度一樣。利用氣體分子運動論，可以建立起理想氣體的熱力學。
經過了一個多世紀的發展，對牛頓力學在本質是否具有決定論性這一點有了新的理解。儘管在熱學入門級教科書中還在用氣體分子運動論，但是分子運動論不能解釋所有的熱現象，溫度和熱的概念必須脫離力學的圖像。熱現象的描述需要更加抽象的數學工具和物理理論，這個工具就是概率論，這個理論就是量子力學。
2004 年12 月初，中國物理學會第八屆教學委員會在清華大學組織了第一次會議，會議請楊振寧先生就他在清華大學進行「大學物理」的教學實踐作一個即席發言。楊先生使用的教材是Halliday 和Resnick的Fundamentals of Physics。這套教材經過千錘百鍊，反覆修訂，已成經典，在世界範圍內被許多大學使用。但是楊先生認為該教材有兩個較嚴重的缺陷。第一是關於矢量的標積和矢積的定義。該書把它們的幾何與代數定義混為一談，讀完後仍不知道標積在坐標變換下的變換性質。第二是該教材上沒有關於絕對溫度的內容。熱力學第二定律中熵和絕對溫度的定義是同時進行的，缺一不可。楊先生認為後一個處理是「很大的錯誤」，「把物理學的精神抹殺掉了」。在討論絕對溫度的部分，我們將回到這個問題。
3 什麼是溫度？
「什麼是溫度？」這個問題的哲學層面是一個終極問題。相當於問「Who Am I ? Where Do I Come From? Where Am I Going ?」 (我是誰?從何而來? 欲何往? ) 。這一問題如果換一個方式來問的話，回答起來會順暢很多。科學家更關心的問題是：「Who Am I ? Where Am I Going ? And How Am I Going to Get There ?」 (我是誰? 欲何往? 如何達? ) 。熱力學對溫度的全部解答包含在熱力學第零定律中。
熱力學第零定律：如果兩個熱力學系統中的每一個都與第三個熱力學系統處於熱平衡，則它們彼此也必定處於熱平衡。所以，熱力學第零定律又稱為熱平衡定律。這裡，熱平衡是一個很重要的概念。它說明，如果兩個系統達到了熱平衡，這兩個系統都不會有任何宏觀的改變。下面抽絲剝繭，一層一層深挖這個定律。
第一層，定性。存在與系統大小、材質、形狀無關的量，這個量不是幾何量也不是力學量，而是一個新的量，用來刻畫熱平衡時的一個共性，稱之為溫度。這是經驗的總結。由此可見，溫度是宏觀物質系統的一個固有屬性。這個溫度，也可以稱之為經驗溫度。
第二層，定量。存在物態方程 (equation of state) ，這是熱力學第零定律一個偉大而深奧的結論，是人類智力高度創造性的產物。通過邏輯可以證明，對於最簡單的宏觀系統存在如下函數：
T =F( p, V) ，
這裡的T 是溫度。所謂最簡單的宏觀系統，只有體積V 和壓強p 兩個自變量。這兩個變量，一個來自幾何，一個來自力學，用來刻畫一個宏觀系統，可以直接測量。
第三層，實驗。經驗提示了固體熱脹冷縮，液體難以壓縮等現象，當然這是不夠的。給定一個溫度，宏觀系統的體積V 和壓強p 及其關係，即函數關係T =F(p, V)的具體形式如何？答案依賴於科學實驗。試想宏觀物質系統何以億萬計？每個系統還要經歷很多過程。每一個系統，每一個過程，都有至少一個實驗定律！僅就平衡態的氣體而言，就有極其稀薄 (理想氣體定律)、實際氣體 (範德瓦爾斯方程) ，極低溫度 (電子氣體熱容量定律) 、混合氣體有化學反應 (薩哈定律) 、混合無化學反應 (分壓定律) 等等。實驗定律的繁多使得熱力學看上去非常複雜。如果摸準了脈搏，熱力學並不難。這一點暫且不論。第四層，理論。實驗僅僅說存在物態關係T =F(p, V)，並沒有直接規定這個關係的形式。因此需要一個溫標，方便的溫標也行。最簡便的溫標是理想氣體溫標。這一點在下一部分詳細討論。
4 為什麼統計物理中的溫度是第二性的？
熱力學中，溫度是第一性的！必須首先承認溫度的存在性，然後去描述它。這和統計物理不同。統計物理中，溫度是第二性的。例如，在微正則系綜中，熵是第一性的，而溫度是第二性的。為什麼會這樣？這也是一個有哲學意味的問題。
熱力學是一個唯象理論。所謂唯象，按牛頓的說法，即科學中僅僅需要實驗研究可以測量的量之間的關係。但是，科學的發展認為，可以測量的量與量之間關係的最短路徑，是通過一些不可直接測量的量聯繫起來的。因此，愛因斯坦認為概念需要自由創造，而不能由經驗直接構造出來。用法國數學家Jacques Hadamard (1865—1963) 的話說就是：「The shortest and best way between two truths of the real domain often passes through the imaginary one.」 (實域中兩個事實之間最短和最好的途徑常常經過虛域) 。任何原理性的物理學的分支，都包含了不可直接測量的量，牛頓力學中的拉氏量、哈氏量等就不能直接測量。熱力學也是如此，其中基本的物理量有很多不能直接測量，例如熵、自由能、焓等等。總之，熱力學是一個唯象理論，但不是牛頓意義上的唯象理論，而是愛因斯坦意義上的唯象理論[3]。
統計物理不是唯象理論，它的基礎不是經驗而是基本假設，既然如此，就必須首先給溫度一個解釋。這是為什麼溫度在統計物理中為第二性的原因。
很多專家相信統計物理比熱力學更加基礎。對此，筆者一直有疑問。2006 年4 月29 日筆者在義大利旅行，在火車上遇到了有「當代牛頓」之稱的法國物理學家P. G. de Gennes 教授。他是「軟物質」領域的開創人，曾獲得了1991 年的諾貝爾物理學獎。我將一個自己正在思考的問題寫在紙上交給他。他沉思片刻，也將自己的答案寫在紙上 (圖2) 。
圖2 2006 年作者與P. G. de Gennes 教授在火車上的交流
其內容翻譯如下：「現在，所謂的納米科技發展得很快。因為納米體系僅包含有限個粒子，如103—109，統計物理能用嗎? 或者說，等概率假設和熱力學第零定律哪一個更為基礎?」「答案：當包括了表面項以後，宏觀圖像(也就是熱力學)常常是適用的。」
儘管我的問題是統計物理是否更加基礎？但是Gennes 教授的答案卻是熱力學更加普適。從Gennes 教授回答問題的方式可以看出，科學只能回答科學能回答的問題。
熱力學和統計物理的關係如何？如果換一個角度來看這個問題，答案會比較清晰。從抽象的程度上看，統計物理比熱力學要高級；從普適的程度上，熱力學比統計物理要寬泛。如果非要糾結熱力學和統計物理的關係，倫敦大學Brian Cowan 教授於2019年11 月27 日在和筆者的通信中，有一個回答如圖3所示。
圖3 2019 年Brian Cowan 教授給作者的來信
其部分內容翻譯如下：
統計物理與熱力學的關係問題是個難題。
我原來堅持朗道觀點而反對愛因斯坦觀點。不過我有了一點改變。統計物理從微觀模型出發推導物質的宏觀性質。由此你可以推導性質A和性質B(例如氣體定容和定壓的熱容量)。假如你做到了，你就可以看到性質A和性質B之間的關係。你可能相信這個關係依賴於所採用的特殊模型。與此不同，熱力學提供了這些量之間的關係，而和微觀模型無關。這就是熱力學的特殊威力所在。
但是，在我的這一論點中有一個細微的瑕疵，源於我相信熱力學的定律可能從統計物理原理中推導出來。(其他人可能爭辯說不是推導，而是一種可以接受的推理)。
其中提到的朗道觀點和愛因斯坦觀點，可參見Brian Cowan教授的著作[3]。
5 什麼是溫標、理想氣體溫標和黑體輻射溫標？
對於一個具體的物質，如果已知了溫度和物態參量之間關係的實驗定律，也就是物態方程T =F( p，V)，就知道物質的測溫屬性，然後參照某個國際統一標準校準刻度之後，就是溫度計。這裡最關鍵的還是物態方程T =F( p，V)。
以氣體為例，實驗發現，所有氣體在壓強很小的時候，滿足同一個實驗定律，即玻意耳定律：在密閉容器中的定量氣體，在恆溫下，氣體的壓強和體積成反比關係。數學形式是：pV=f (t) .這裡有四個問題沒有解決。
第一，這裡的溫度t 和p，V 之間的關係明確但不精確。有一個簡單的約定就是，p，V 和溫度t 之間僅僅相差一個常數， 即pV =Ct .換言之，就是把pV本身當成對溫度的一種刻畫。
第二，值得探討溫度t 和第零定律定義的溫度T 的關係。pV=Ct給出的是計量溫度的一種方式，即理想氣體溫標！然後，通過另外一個實驗定律即阿伏伽德羅定律給出這個常數是摩爾數n 乘以阿伏伽德羅常數R。故可以獲得理想氣體狀態方程：
pV=nRt .
毫無疑問，沒有任何原理排除用定義溫度t' 的如下計量方式：
pV=C/t' ，
這樣定義的溫標t'可以作為理想氣體溫標的第二類定義！類似，完全可以給出第三、四類定義，等等。這些定義都沒有必要。計量溫度，必須儘可能大眾化，時髦的說法是扁平化。因此人為約定取其簡單者就可以了，理想氣體溫標t =pV/nR無疑最為簡單。
第三，理想氣體溫標如何進行刻度? 把溫度單位選定為水的三相點溫度的1/273.16，這就可以刻出一度一度的溫度來，即刻度。有了刻度，還需要規定或者標度出零度的位置，簡稱標零。攝氏溫標規定，零度的位置選擇為273.15(理想氣體溫標)度：
水的三相點的溫度是0.01 攝氏度。注意，此時還沒有絕對溫標的概念。
刻度和標零這兩個過程中，需要一個存在性定律：水的三相點的溫度與經緯度、氣候、失重與否等外部環境無關，是一個不變量。這一點也是實驗規律。沒有這個規律，北京地區冬天製作出來的溫度計，在長沙的夏天使用時，給出的溫度的準確性就會存疑。
第四，理想氣體溫標是從理想氣體出發的，這不夠抽象。要證明它能脫離理想氣體而存在，需要絕對溫標。要證明這一點，還有兩步要走。第一步，需要證明絕對溫標的存在性，這個溫標和具體物質的特性無關。這一步需要新的原理，即熱力學第二定律。第二步，如果用同樣的刻度和標零之後，理想氣體溫標和絕對溫標相同。
據說當年的CUSPEA 考題中有一道面試題如下：如何測量太陽表面的溫度？這個問題的答案是，用黑體輻射的通量計就可以了。黑體輻射是理想的電磁輻射，滿足一個實驗定律，即所謂斯特藩—玻爾茲曼定律：一個黑體表面單位的輻射通量和黑體溫度的四次方成正比。而這裡的比例常數，稱之為斯特藩常數。這個溫標就是黑體輻射溫標，可以證明，經過合理的刻度和標定零點之後，這個溫標也就是絕對溫標。測得了太陽的輻射通量，就可以求出太陽表面的溫度。
在具體的應用中，不同的溫度環境和溫度區間，需要用到不同的溫度計。有些溫度計可能非常複雜，體積也可能很龐大，測溫屬性的物理原理也各有不同。
6 什麼是絕對溫度？什麼是絕對溫標？
物理學的基本原理不能依賴於具體的物態方程。儘管溫度是宏觀物質系統的一個固有屬性，但是溫標和具體物質有關，這不夠純粹！
溫度的定義是普適的， 不依賴於具體的物態方程。但是計量溫度，需要了解具體物質系統的物態方程。因此，就有水銀溫度計、氣體溫度計、黑體輻射溫度計等等。熱力學理論的驚人後果之一是，從理論上可以證明，存在這樣一個溫標，這就是絕對溫標，又稱為熱力學溫標。絕對溫標，就是溫度度量時和具體物質特性無關的一種溫標。這一溫標的存在性的證明需要用到熱力學第二定律。
溫標可以脫離具體物質的測溫屬性而存在，深入地揭示了宏觀物質系統更基本的性質，我們把絕對溫標標示的溫度稱之為絕對溫度。
這裡的dS 就是一個全微分，S 即熵，是一個狀態參量，T 就是絕對溫度。換言之，S和T同時存在。
可能是為了方便教學，現在的教科書常常沒有同時定義絕對溫度和熵。而是首先引入絕對溫標，然後再在深挖絕對溫標定義的時候，引入熵的概念。細究這種教學過程，並沒有否定熵的引進伴隨著絕對溫度，不過把「同時定義」暗含在推理過程中，而沒有明顯說明。在楊先生看來，必須明顯地指出來。為什麼?
絕對溫度不僅僅體現溫度是宏觀物質系統的一個固有屬性，而且是一種絕對的存在。這一點，很像牛頓力學中的時空觀的絕對性。熱力學溫度的這種絕對性，超越了熱力學第零定律中引入的經驗溫度。絕對溫度的存在，和任何具體物質系統無關，具有超然地位。根據熱力學第三定律，絕對零度無法達到。這一定律具有一個非常深刻的後果：沒有輻射也沒有物質的所謂絕對虛無的真空是不存在的。因此，熱力學第三定律不僅為量子場論中的真空漲落，甚至也為引力場、暗物質、暗能量留下了後門。
7 結語
溫度是宏觀物質系統的一個固有屬性，是經驗的總結；溫標是溫度在物態方程中的具體顯現，需要人為規定。絕對溫度揭示了宇宙間一種絕對的存在，絕對零度是一種理論的真實。
參考文獻
[1] Longair M 著. 向守平，鄭久仁，朱棟培等譯. 物理學中的理論概念. 中國科技大學出版社，2017
[2] Einstein A，Infeld L. The Evolution of Physics. New York：Touchstone，2008
[3] Cowan B. Topics in Statistical Mechanics. London：Imperial College Press，2005
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