許多中考試題都是以教材的例題、習題為背景，經過命題專家巧妙構思編擬而成，中考試題的權威性和導向性是由命題專家獨具匠心精心打造的，其思路和方法常具有類比遷移和拓廣探索性。數學學習中，適時地對課本的定理進行適當的延伸與提煉，形成模型，再利用模型去分析和解決問題，能縮短思考時間，提高學習效率，提升創新創造能力。
筆者在教學勾股定理內容時，為幫助學生形成新的模型圖，給出下面這道題：
在△ABC中，AD⊥BC於D，求證： AB-BD=AC-CD=AD.
這是一道無圖題，蘊含分類圖，圖有兩種可能，如圖1、圖2.
題中有垂直且有線段的平方之間的關係，自然想到勾股定理.將圖形看成兩個直角三角形，利用勾股定理及兩個直角三角形的公共邊，便能得證.
即由AD⊥BC，得 AB -BD =AD ,AC -CD =AD ，
所以AB-BD=AC-CD=AD.
這個模型圖在初中數學中應用廣泛，我們把這兩個圖形形象地稱之為「雙勾模型」.
例1.△ABC中，AB=AC，∠B＝2∠A，求證：AB -BC =AB·BC
解析：此題看似比較難，有兩邊平方但沒有直角三角形，聯想雙勾模型，作BD⊥AC於D，作∠ABC的角平分線交AC於E點，易得∠BEC=2∠A=∠C，所以BE=BC，於是DE=CD，
利用雙勾模型結論可得AB -BC = AD -CD=(AD+CD)(AD-CD)
=(AD+CD)(AD-DE)=AC·AE=AB·AE . ①
因為∠ABE＝1/2∠ABC=∠A,所以AE=BE=BC. ②
把②代入①得AB -BC =AB·BC
評析：遇到兩邊平方差（但不在直角三角形中），可以考慮作垂線構造直角三角形，利用雙勾模型結論解題。
例2.如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．
某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路，完成解答過程．
（1）作AD⊥BC於點D，設BD＝x，用含x的代數式表示CD＝________
（2）請根據勾股定理，利用AD作為「橋梁」建立方程．並求出x的值；
（3）利用勾股定理求出AD的長，再計算三角形的面積．
（4）如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，
這一公式稱為海倫公式．請你用海倫公式驗算所求三角形面積是否正確．
【分析】（1）直接利用BC的長表示出DC的長；
（2）直接利用勾股定理進而得出x的值；
（3）利用三角形面積求法得出答案；
（4）直接求出p的值，再代入公式求出答案．
【解答】（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案為：14﹣x；
（2）∵AD⊥BC，∴AD＝AC﹣CD，AD＝AB﹣BD，
即利用雙勾模型基本圖形1的結論，AC﹣CD＝AB﹣BD= AD
∴13﹣（14﹣x）＝15﹣x，解得：x＝9；
故（3）中計算正確．
評析: 本題求面積實際上是求一邊上的高.利用雙勾模型圖1求出BD的長，然後利用勾股定理即可求出高AD的長.
例3．閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質：
垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．
已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交於點E．
求證：AD+BC＝AB+CD2
證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形,∴AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD+BC＝AE+DE+BE+CE，
AB+CD＝AE+BE+CE+DE，
∴AD+BC＝AB+CD．
拓展探究：
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．
（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，FE，分別交AB，AC於點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，並說明理由；
問題解決：
如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5．求GE長．
【分析】拓展探究：（1）由AB＝AD，CB＝CD即可知直線AC是線段BD的垂直平分線，據此可得；
（2）由F為斜邊BC的中點知AF＝CF＝BF，結合題意得AD＝DB、AE＝CE，從而得出DF⊥AB、EF⊥AC，根據∠BAC＝90°即可得出答案；
問題解決：連接CG、BE，證△GAB≌△CAE得∠ABG＝∠AEC，結合∠AEC+∠AME＝90°知CE⊥BG，由定義得四邊形CGEB是垂美四邊形，根據CG+BE＝CB+GE將相關長度代入可得答案．
【解答】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，
理由如下：∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，
∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，
∴直線AC是線段BD的垂直平分線，
∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．
（2）四邊形FMAN是矩形，
理由：如圖3，連接AF，
∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，∴AF＝CF＝BF，
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，
∴AD＝DB、AE＝CE，∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，∴∠AMF＝∠MAN＝∠ANF＝90°，
∴四邊形AMFN是矩形；
問題解決：
連接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四邊形CGEB是垂美四邊形，
∴CG+BE＝CB+GE，
∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2，
∴GE＝CG+BE﹣CB＝73，∴GE＝√73．
評析：本題垂美四邊形圖形可看成兩個雙勾模型圖(1)，若利用雙勾模型圖的結淪很容易解決，這也體現了利用模型圖給解題帶來的簡便.
例4.(1)( 阿波羅尼斯定理)如圖1，平行四邊形ABCD中，AC、BD是兩條對角線，求證：AC+BD＝2(AB+BC)．
（2）如圖，PT是△PQR的中線，已知：PQ＝7，QR＝6，RP＝5．求：PT的長度．
【解析】（1）證明：作AM⊥BC於M，DN⊥BC於N，如圖1所示：
∠AMB＝∠DQC＝90°，AD=MQ,
由平行四邊形ABCD，得BC=AD=MQ,AB=CD,
由基本圖形1，可得AB-BM=AC-MC①
由基本圖形2，可得DC-CQ=BD-BQ②
① +②AB-BM+ DC-CQ=AC-MC+ BD-BQ
AC+ BD =AB-BM+ DC-CQ+MC+BQ
=( BQ-CQ )+( MC -BM )+AB +DC
=BC·(BQ+CQ)+BC·(MC-BM)+AB +DC
= BC·(BQ+CQ+MC-BM) +AB +DC
=2BC+2AB
（2）解：延長PT至S，使得PT＝TS，連接QS，RS，如圖2所示：
∵PT是△PQR的中線，
∴QT＝RT，∴四邊形PQSR為平行四邊形，
∴PQ＝RS＝7，RP＝QS＝5，
由（2）得：PS+RQ＝2（PQ2+ PR），
∴（2PT）+6＝2（7+5），∴PT＝2√7．
評析： 題中出現了線段之間的平方關係，易聯想到勾股定理，為此作高構造直角三角形，形成了雙勾模型圖，利用這個模型圖即可完成證明.
三角形版阿波羅尼斯定理：三角形兩邊平方的和等於所夾中線及第三邊之半的平方和的2倍.
如圖，AD為△ABC中線，則AB+AC=2(AD+BD).
例5. 已知，如圖1，正方形ABCD和正方形BEFG，三點A、B、E在同一直線上，連接AG和CE，
（1）判定線段AG和線段CE的數量有什麼關係？請說明理由．
（2）將正方形BEFG，繞點順時針旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．
（3）若在圖2中連接AE和CG，且AE＝2CG＝4，求正方形ABCD和正方形BEFG的面積之和為______．（直接寫出結果）．
【分析】（1）根據正方形的性質可得AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，然後利用「邊角邊」證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）先求出∠ABG＝∠CBE，然後利用「邊角邊」證明△ABG和△CBE全等，再根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（3）連接AC、EG，設AG、CE交點為H，根據全等三角形對應角相等可得∠BAG＝∠BCE，然後求出∠CAH+∠ACH＝90°，從而證明得到AG⊥CE，再根據勾股定理求出AC2+EG2＝CG2+AE2，然後根據正方形的面積等於對角線平方的一半求解即可．
【解答】（1）AG＝CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝CB，BG＝BE，∠ABG＝∠CBE＝90°，
在△ABG和△CBE中，AB=CB, ∠ABG＝∠CBE＝90°，BG=BE,
∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；
（2）AG＝CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝CB，BG＝BE，∠ABC＝∠EBG＝90°，
∵∠ABG＝∠ABC+∠CBG，∠CBE＝∠EBG+∠CBG，∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG和△CBE中，AB=CB, ∠ABG＝∠CBE，BG=BE,
∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG＝CE；
（3）連結AC,EG,AE,CG, 由正方形ABCD和正方形BEFG，得
AB=CB,BG=BE，∠ABC=GBE＝90°，
∴∠ABG=∠CBE， 可得△ABG≌△CBE， ∴∠BAG=∠BCE.
從而∠CAH+∠ACH=∠CAH+∠ACB+∠BCE=∠CAH+∠ACB+∠BAG＝90°，
即AG⊥CE.
由雙勾模型圖1及例2，易推得CG +AE =AC +EG，
由AE=2CG=4，得CG=2，∴AC +EG =2 +4=20.
因此，正方形和正方形的面積之和為
AB +BE =1/2(AC +EG )=1/2×20=10.
評析： 題中「正方形的母子圖」中有一個重要的結論:AG與CE既相等，又垂直.由垂直，聯想到雙勾模型圖，便能順利解答.當然，解本題時，若有例3的模型圖在心中，就更易解答.
解題反思總結：
幾何與圖形領域中存在著很多基本圖形，每一個基本圖形都可視為一個幾何模型，它的性質、研究方法對其他較複雜幾何圖形性質的探究具有重要的導航作用。在具體的情境中加強對基本模型的研究，並讓學生慧眼視圖，從複雜圖形中找出基本模型，利用模型解決相關問題，強化模型解題的思維方法，積累有效的數學活動經驗。
近幾年的中考數學試卷，加大了對幾何圖形性質探究問題的考察力度，以檢測學生的思維方式、思維水平。所以，在幾何與圖形的課堂習題教學中，要有意識、有目的引導學生大膽嘗試聯想，變化問題的條件和結論，將圖形的結構重組與更新，探索條件（或圖形）變化中不變的結論，或不變的條件而變化的結論，建立基本幾何模型，打開思維的大門，提升學生的推理猜想能力、創新創造能力。