今天偶然看到凸函數和凹函數，看到維基和百度百科說中國有些學術機構出版的書裡的關於凸函數和凹函數的定義與國外的定義相反，而在經濟學之類領域裡中文課本與英文課本一致。摘錄如下：
注意：中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和數學教材是反的。舉個例子，同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反，本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集，而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集，兩者定義正好相反。另外，也有些教材會把凸定義為上凸，凹定義為下凸。碰到的時候應該以教材中的那些定義為準。
這段文字，在百度百科和維基百科中文版裡是一樣的，也不知道是因為量子糾纏的原因還是因為兩個網站形成了高度共識。
我很懷疑我當時學的是「中國大陸數學界某些機構」所定義的「和國外的定義是相反的」那種定義，因為我不學經濟學。出於狹隘的自尊心和榮譽感，我就想證明這個「和國外的定義是相反的」的定義是有道理的。
（這個「國外」其實是個值得商榷的詞，我猜想這「國外」八成是指美國、英國啥的，畢竟一般會寫中文的人應該沒讀過莫三比克、馬達加斯加這些國家的數學書是啥樣的。不過，我們姑且就把講英語的且人均GDP高的國家約等於「國外」吧。）
我就稍微查了下，英文版的維基百科裡說，所謂的concave function（凹函數）又叫concave downwards （缺口朝下）, concave down （缺口向下）, convex upwards （向上突出）, convex cap （弧形蓋子，類似蘑菇的菌蓋）, upper convex（上突）。
相對應的，所謂的convex function（凸函數）又叫convex downwards （突出向下），concave upward（缺口向上）。
而再看日常語言裡concave的意思，其實就是「這個形狀的表面跟圓圈或者球的內側似的」，也就是個缺口。而日常說的convex的意思，就是」這個形狀的表面跟圓圈或者球的外側似的」， 也就是個突起。
所以一個函數如果跟個碗口朝下的形狀似的，那在英文課本裡就說它是個「凹函數」， 「缺口朝下函數」或者「突起朝上函數」。如果它跟碗口朝上的形狀似的，在英文課本裡說它是「凸函數」，「缺口朝上函數」或者「突起朝下函數」。
這裡得要提一嘴中文和英語裡一點點約定俗成的不同思維了：以我深不可測的中文造詣來說，我一聽說「缺口」，第一反應是缺口朝上的居多，說「突起」，則是突起向上的居多；而英語裡，似乎第一反應是「缺口」那就是缺口朝下，「突起」那就是往下突出。這個很奇怪，如果想像一下視角，中國人是往下看的視角，英語裡那是往上看的視角。難道是因為中國人早早習慣了低頭種地，而英語裡的人習慣了詩，遠方，和天空？
從維基百科拷貝了兩張圖片。
按照英文習慣，這張叫做convex function「突起函數」，又可以叫「缺口朝上函數」，「突起向下函數」，這都是數學家認可的。
這個，照我說，基於我多年熟習中文而培養出來的語感，用中文叫的時候，還是「凹函數」更自然一點。
而這張呢，按照英文就是concave function「缺口函數」，又叫「缺口朝下函數」，「突起向上函數」，同樣是數學家認可的。
同理，這個形狀我覺得叫「凸」更自然一些。
總而言之，言而總之，其實「缺口朝上」「凹口朝上」跟「突起朝下」「凸出朝下」是一樣的意思。要說啥是「凹」啥是「凸」啥是「concave」啥是「convex」，可能是個有點意思的語言學問題。