凸函數

凸函數

本來不想介紹凸函數了，不過最近做高考題，發現有些出題者居然拿這些東西來考試，有點憤慨，做學生容易嘛，要被出題者這麼折磨。其實只要學生稍微了解一些凸函數的基礎知識，那些題就是菜板上的肉肉。

凸函數的來源。我們看兩個函數圖像，動用您的數學直覺，我們可以發現這兩個圖像的不同。

 

 

我們很容易發現，指數函數的圖像是向下凹，而對數函數的圖像是向上凸起的，這兩個圖像的不同就給我們指出一個新的函數性質——凹凸性。

向下凹陷的函數，我們稱之為凸函數

向上凸起的函數，我們稱之為凹函數

這個直覺有點數學怪異，明明是凹下去的函數，卻稱為凸函數，不要打我，不是我給的定義，數學佬只是數學的搬運工。還好，數學上這種反人性的定義不多，記住就好了。也有的數學家建議這樣的提法：

向下凹陷的函數，稱之為下凸函數

向上凸起的函數，稱之為上凸函數

這樣的描述似乎感覺好一點，雖然實際上並沒有改變多少。

當然，對於數學來說，凹和凸憑眼睛看肯定是不讓人滿意的，需要一個比較數學的定義，比如增函數是個非常清晰的性質，數學卻非要用x1,x2來定義。

稍微解釋一下，x1,x2是定義域內任意點，x1+(1-λ)x2就是區間(x1,x2)上任意一點，定義的意思說

 

對於區間上任意兩點A,B，曲線上的點C在線段AB上的點D之下。很形象吧

這樣看也可以：

所謂凸函數，就是函數在兩點間圖像一定在函數的弦下方。

凸函數的這個定義，嚴謹的確嚴謹了，卻不好記憶，我們可以有幾個更容易記憶的等價定義。

這個定義無非就是將λ取1/2即得。

太容易理解了，無非就是從2到n而已。（讀者中如果有牛娃，可以試著證明一下，用什麼辦法？數學歸納法咯，哈哈）

凸函數性質

 

性質很容易看出來，證明卻相當繞口，想不想挑戰一下？

親愛的讀者，如果證明不容易看懂，那就不看證明，看看圖，多清晰的性質！

從凸函數的性質出發，我們可以得到一些很顯然、很容易證明的推論。

推論1、

 

顯然，隨著點B的橫坐標增大，弦的斜率也增大

推論2、

聰明的你，應該一眼看出來了，這個推論其實就是推論1變形而得。

很容易理解吧，數學其實很簡單，把你的直覺寫出來，你就成功了。

有一個壞消息，這個性質和推論是如此易於理解，以至於成為高考中出題老師特別喜歡涉及的東西，然而，凸函數並不是高中數學教材的內容，因此在考試中又不能用。

你說坑爹不坑爹？

推論3、

 

這個推論就更容易理解了，在數學上它被稱為「分離性定理」。可能你會覺得，這都什麼呀，不就是高考壓軸題的第一問嘛……

你，猜對了！

凸函數的判定

當然可以用定義判定，不過一般嚴格的定義都不太好用，事實上，判定一個函數是否凸，以下判定會更加實用。

沒辦法，這又是一個漂亮的數學結論，特別好理解，特別好使用，證明特別麻煩。數學佬是不願意抄書了，因為判定定理的證明只能使用定義。

凸函數怎麼好用呢，我們舉幾個某些出題者故意刁難我們的題目。

蠻容易證明的哦，其實還有更容易的解法，交給聰明的讀者朋友們去嘗試了。負責任地告訴你，完全不需要導數啊，積分啊，這些亂七八糟的知識。

怎麼樣，這個題是不是體現了凸函數的巨大威力？當年為了證明這個題，數學佬的頭都熬白了。

這是個讓人莫名其妙的不等式，根本無從下手。

搞定！其實就是硬搞啦。最大的難度在於求導。對於數學佬來說，我更願意推薦前兩個例子，顯得特別高大上。

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