幾何學有8大分支:歐氏幾何2000餘歲,分形幾何不足100歲

2020-12-11 究盡數學

目前，在世界範圍內的基礎教育階段要麼學習的幾何，要麼是歐式幾何，要麼是解析幾何。其中平面幾何、立體幾何中的幾何知識大多來自2000多年前的歐氏幾何，而包含二次曲線在內的解析幾何是17世紀發展起來的，要知道，在這兩個幾何學科誕生的時間點之間沒有其他的幾何產生。但是，幾何家族在近現代的發展迅速，不同的幾何學科出現在了數學家的視野裡。

歐氏幾何

歐幾裡得在前人工作成果的基礎上，把零散的成果系統成書：《幾何原本》。具有裡程碑意義的《幾何原本》從一系列定義、公設和共同概念開始，把幾何體系嚴謹地建立起來。這種公理化地思路對數學的發展意義重大。我們中學所接觸的平面幾何、立體幾何都屬於歐式幾何的範疇。

《幾何原本》提出了5條公設，其中第五條飽受爭議，始終有人質疑：第五條公設是不是能作為公設？前四個公設能不能推出第五條？然而在2000多年的質疑中，始終沒有明確的答案。直到近代，對第五條公設的探索，出現了另外的幾何學——非歐幾何學。

廣義的來講，非歐幾何就是歐氏幾何之外的幾何；狹義的講，非歐幾何就是羅氏幾何；一般通常認為羅氏幾何和黎曼幾何合稱非歐幾何。收集前輩的原創成果、著書立作，一舉成為名垂千古的數學家

羅氏幾何

19世紀20年代，俄國數學家羅巴切夫斯基，對歐氏幾何的第5條公設進行證明，以期望將其從公設中剔除，他的思路是這樣的：

首先，提出一個和平行公理相矛盾的命題：過直線外一點至少存在兩條直線與已知直線平行。然後，和歐氏幾何的前四個公理組成一個新的公理系統。在新的公理系統中，展開推理，如果能得到矛盾，就等於證明了第五公設。然而，在細緻地推理之後，反而得出很多有違直覺，同時邏輯上又沒有任何矛盾的新定理。因此，羅巴切夫斯基認為：第五公設不能被證明；基於新公理系統建立的幾何和歐氏幾何一樣是完善的、嚴密的。

有意思的是：匈牙利的數學家鮑耶幾乎同時獨立地發現了歐式幾何第五公設不可證明以及非歐幾何的存在；而且似乎那個時代被譽為「數學王子」的高斯更早發現第五公設不能被證明，並研究了非歐幾何。只是鮑耶和高斯對非歐幾何的態度不大相同，鮑耶為發展非歐幾何，在不被支持和理解的情況下，繼續辛勤的工作；而高斯迫於宗教的壓力，不敢發表成果，也不敢支持羅巴切夫斯基和鮑耶。

1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾裡得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾裡得幾何命題，如果歐幾裡得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

黎曼幾何

歐氏幾何與羅氏幾何的區別只是在於平行公理的區別：

歐式幾何：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。羅氏幾何：過直線外一點至少存在兩條直線與已知直線平行。而作為高斯學生的天才黎曼所考慮的是：過直線外一點，不存在直線與已知直線平行。也就是說，在黎曼幾何中，不存在平行線。黎曼在羅巴切夫斯基和他人工作的基礎上，建立起一種更廣泛的幾何學——黎曼幾何，羅巴切夫斯基幾何和歐幾裡得幾何都是黎曼幾何的特例。也因此，黎曼成為首個理解非歐幾何學全部意義的數學家。

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何分別有著不同的應用領域：歐氏幾何廣泛適用於我們的日常生活中；羅氏幾何更適於宇宙空間及原子核世界的描述；而黎曼幾何的現實意義就是對近代理論物理發展的指導，為20世紀相對論提供了數學基礎。

射影幾何

射影幾何與解析幾何幾乎同時面世於17世紀。而早在古希臘時期，幾何學家就關注透視法，使用投影來研究幾何。到歐洲文藝復興時期，基於繪圖學和建築學的需要，透視學有了成長的沃土。

文藝復興時期，繪畫和建築藝術要求在平面上表現實物：要把現實世界中的實物對象畫在一張畫布上，需要用自己的眼睛作為投影中心(當然，還有其他的投影方式)，先把實物的影子投射到畫布上去，然後再描繪出來。在這個過程中，畫布上各對象的相對大小和位置關係，有的變化了，有的保持不變。這就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而形成了射影幾何這門新的學科。

解析幾何

解析幾何的基本思想是在平面中引入坐標，建立坐標系，然後將一個形如f(x,y)=0的代數方程與平面上的一條曲線對應起來：將幾何問題轉化為代數問題，也通過對代數問題的研究發現新的幾何結果；代數問題也有了幾何意義的解釋。這一幾何學的分支的創立人是兩個法國數學家——笛卡爾和費爾馬。只是，他們最初使用的都是斜坐標系，把直角坐標系作為特殊情況。現在我們使用更多的是直角坐標系，並稱之為笛卡爾坐標系。

暴躁易怒VS內斂，哲學家VS法官：笛卡爾與費馬的爭論！

微分幾何

運用微積分的理論研究三維空間中曲線、曲面和流形的幾何性質，主要是整體性質，尤其局部性質和整體性質之間的關係。

分形幾何

1975年曼德布羅特在其《自然界中的分形幾何》一書中正式引入了分形概念，認為分形具有4個特點：

結構的精細性：分形圖形具有無限精細的結構。自相似性：部分與整體的比例的相似性。維數的非整數性：一般來講分形圖形的分數維大於它的拓撲維數。生成的迭代性：可以由非常簡單的方法定義，並由遞歸、迭代產生。其中前兩項說明分形在結構上的內在規律性，其中自相似性是分形的靈魂：任何一個片段都包含了整個分形的信息。第3項說明了分形的複雜性。第4項說明了分形的生成機制。

滿足4個特點的典型分形

分形圖形包含了很多相似的圖形，這種圖形的特點就是圖形的每一部分都和它本身的形狀相似，分形的這種性質被稱為自相似性。自相似性就是跨尺度的對稱性，它意味著在一個圖形內部遞歸的還有相似的圖形，或者說，把要考慮的圖形進一步放大，其形狀與整體相同。

具有有限面積的平面封閉圖形，其周長可以無限嗎？

拓撲學

拓撲學是19世紀形成的一門特殊的幾何學，其中著名的哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色猜想等問題，都見證了拓撲學的發展。

點數+面數-稜數=2

與歐氏幾何或非歐幾何不同，拓撲學並不關心點、線、面等幾何對象之間的位置關係和彼此間的度量性質。拓撲學中所研究的圖形，可以經過彎曲、運動使形狀、大小發生變化，在這種拓撲變換的過程中，只考慮拓撲等價等拓撲性質。比如歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時，忽略了圖形的大小、形狀，而只考慮點線的數量。

結語

歐幾裡得通過五條公設，把前人的幾何成果建立在嚴謹的公理體系上；然而人們對歐氏幾何公理的質疑，催生了羅氏幾何和黎曼幾何；隨著代數的開始發展，以及變量思維的開始，代數與幾何的對應或結合，使得解析幾何誕生；同時基於人們對繪畫和建築的需求，為了將現實世界反映到圖紙或畫布，而發展出射影幾何；隨著變量思想、極限思想的深入發展，微積分得到了發展，而微積分方法的應用，又催生了微分幾何。此外，隨著科學和技術的發展，比如天文、計算機、機械製造等，發展出分形幾何、計算幾何等新的交叉學科。幾何家族不斷的發展壯大，除了每個幾何學科分支的深入發展，還包括新的幾何學科的誕生，同時表現出多學科的混血，表現出了「人丁興旺」的勃勃生機！

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