引言：幾何作為數學三大基石之一，在數學中的地位可謂不言而喻。我們從小就學習幾何。初中的勾股定理，高中的射影定理、角平分線定理，無不是幾何學的重要內容。
但是，大家知道嗎？
其實我們在中學學習的幾何，只是幾何學中的一種幾何，那就是著名的歐幾裡得幾何。歐氏幾何傳承了兩千多年，關於它，我們要從希臘數學開始談起。
早在遙遠的希臘，數學家就被幾何無限的魅力所傾倒。2000多年前，一本影響至今的數學巨——《幾何原本》，劃破人類文明的長夜，橫空出世。《幾何原本》由歐幾裡得編著，大約成書於公元前300年。
《幾何原本》全面、系統地整理了遠古人類創造的零散數學成果，以五大公設為基礎，由簡單到複雜，用嚴謹的邏輯思維進行了層層推理和嚴格證明。全書十三篇，其主要內容為：
第1-4篇：直邊形和圓的基本性質；
第5篇：比例理論；
第6篇：利用第5篇的比例理論討論相似形；
第7-9篇：講述數論（即講述關於整數和整數之比的性質），這三篇也是《原本》中純粹討論算數的唯一篇章；
第10篇：著手對無理量進行分類；
第11-13篇：講立體幾何和窮竭法。
全書先後論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數、立體幾何等內容，應用了豐富的數學思想：分析法、綜合法和歸謬法。全書縝密的邏輯可謂美妙絕倫，令人陶醉。
徐光啟在評論《幾何原本》時說過，
此書為益能令學理者祛其浮氣，練其精心；
學事者資其定法，發其巧思，
故舉世無一人不當學。
同時又說，
能精此書者，無一事不可精；
好學此書者，無一事不可學。
愛因斯坦則更是認為：
如果歐幾裡得未激發你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家。
兩千多年來，《幾何原本》一直是學習數學幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾潛心學習過《幾何原本》，從中汲取了豐富的營養，對他們後來的研究產生了巨大的影響。
《幾何原本》是最早的一本內容全面、結構系統的數學書，它的問世是古代文明史上的一大壯舉。人類第一次用「公理系統」構建起了古代數學的幾何大廈，對近代和現代數學，產生了深遠的影響。
非歐幾何開始於對歐氏幾何第五公設（即平行公設）的研究。
1.任意兩點可以通過一直線連接。
2. 任意線段都能延伸成一直線。
3. 任意線段可以一個端點為圓心、該線段為半徑作圓。
4. 所有直角都全等。
5.若兩直線都與第三條相交，並且在同一邊內角和小於兩直角，則這兩條直線在這一邊必相交。
歐幾裡得的第五公設，也稱平行公設。在歐氏幾何的所有公設中，唯獨這條公設顯得比較特殊，它的敘述不像其它公設那樣簡潔明了。當時就有人懷疑它不像一個公設而更像是一個定理，並產生了從其它公設和定理推出這條公設的的想法。
數學家們對平行公設是否能使用其他九個公理證明的問題，進行了許多的嘗試，直到非歐幾何的誕生，才終止了嘗試。比如在羅氏幾何中三角形的內角和小於180度。
非歐幾何的產生和發展，在客觀上對研究了兩千多年的第五公設作了總結。它打破了兩千年來歐幾裡得幾何一統天下的局面，從根本上改變了人們的幾何觀，是自希臘時代以來數學中一個重大的革新步驟。
同時，非歐幾何使數學哲學的研究進入了一個嶄新的歷史時期。18世紀和19世紀前半期最有影響的康德哲學，它的自然科學基礎支柱之一是歐幾裡得空間。非歐幾何的創立，衝破傳統觀念並破除千百年來的思維習慣，數學的絕對真理觀點刮來一場暴風，給康德唯心主義哲學以有力一擊，使數學從傳統的形上學的束縛下解放出來。
儘管我們在中學一直學習的只是歐氏幾何的部分內容，但我們一定要知道，在今天的幾何學中，歐氏幾何僅僅是其中的一個分支，我們生存的空間也並不是歐氏幾何所描述的那樣。
歐氏幾何縝密的邏輯和嚴格的推理令人著迷，這是我們需要學習的地方。但如果因此就認為只有歐氏幾何這一種幾何，未免貽笑大方。我們承認歐氏幾何的歷史價值和現實意義，我們更要去探索未知的幾何和能描述真實世界的幾何。