科學發現 兩條平行線必相交——非歐幾何的創立

2021-02-23 科技名家裡程碑

代數、幾何曾是數學的兩大分支，研究數的部分是代數學的範疇，研究形的部分，自然是屬於幾何學的範疇。再要深究，還有聯結形與數且涉及極限的部分，這就是分析學，這三大類是整個數學的核心。

代數很好理解，數學，顧名思義，自然與數是息息相關的。那麼，幾何呢？有著怎麼樣的歷史呢？又有哪些分類呢？

約在公元前4世紀左右，歐幾裡得——古希臘偉大的數學家，就著手處理一些人們公認的一些幾何知識，並在基礎上研究了圖形的性質，推導演繹出了若干定理，寫了《幾何原本》，這就是所謂的歐氏幾何。

歐式幾何五公設和五定理，大多數人都有所耳聞。先解釋一下公設和定理的概念。

所謂公理或公設，就是「不證自明」的命題，是一個演繹系統中，不需要證明而必須加以承認的某些陳述或命題。公理或是公設是一門學科中的基礎，必須依賴於它，學科大樓才能拔地而起。

而定理相較於公設就要弱一些，只是已經證明了的具有正確性、可以作為原則或規律的命題或公式，比如幾何定理。

《幾何原本》中的5公設：

1. 由任意一點到任意一點可作直線。

2. 一條有限直線可以繼續延長。

3. 以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

4. 凡直角都相等。

5．若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

五公設推出五條定理，五定理表述更加簡單明了，分別是「等於同量的量彼此相等」、「等量加等量，其和仍相等」、「等量減等量，其差仍相等」、「彼此能夠重合的物體是全等的」、「整體大於部分」。

在這五條公設中，前四條是簡單明了，第五條就顯得囉嗦了不少，結論也沒那麼顯然易見。細心的學者發現，在《幾何原本》中，歐幾裡得直到第二十九條命題才使用第五公設，也就是說，不依靠第五公設就已經能推出前二十八個命題了。而且二十九命題之後也沒使用過第五公設。如此看來，將其置於公設的位置未免有些浪費，能不能降個檔次，作為定理使用呢？

這就是幾何史上著名的「平行線理論」，這一爭議持續了很久，長達兩千多年，並引出了非歐幾何學這一門分支。顧名思義，非歐幾何自然指的是一切和歐幾裡得幾何不同的幾何學，通常意義下，指的是羅氏幾何和黎曼幾何這兩種。狹義意義下，非歐幾何即羅氏幾何。

羅氏指的是俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基，對於頗具爭議的第五公設，他興趣很濃，一直想給出合理的證明，他另闢蹊徑，選擇了另一條路子，利用了反證法的思想去證明：先是提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題，用其代替第五公設，和前四個公設一起成為一個新的公理系統，並進行了一系列的推理。如果證明過程中出現了矛盾，那就說明第五條公設是正確的。

思路是正確的，嚴謹細緻的羅巴切夫斯基開始了一個又一個的推理，得出了一個又一個命題，這些命題中有的令人匪夷所思，有的較容易理解，最後，羅巴切夫斯基得出了結論：第五公設無法被證明。

看似所有的付出如一江春水逝去，斷了頭緒，然而並非如此，收貨了新的理論幾何學——羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。

非歐幾何像歐式幾何一樣，是完善的、嚴密的幾何學。無獨有偶，就在羅氏幾何被創立的同一時期，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設是不可證明，以及「非歐幾何學」的存在。

雖然現在在我們看來，非歐幾何一個新興理論的出現是件讓人興奮的事情，然而，當時，鮑耶·雅諾什的處境並不樂觀。不僅社會上一片冷言冷語，家裡人也不支持他，即使是同樣身為數學家的父親——鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設完全是耗費精力，勞而無功的事情。看到自己的研究成果不受重視，就連父親也強力勸他放棄研究，鮑耶·雅諾什沒有說什麼，仍然堅持著自己的理想，為發展新的幾何學而繼續工作，一刻也沒有放棄對學說的追求。功夫不負有心人，1832年，鮑耶·雅諾什的研究結果終於得以面世，但是仍不被尊重，只是發表在他父親的一本著作的附錄裡。

這是不僅是鮑耶的悲哀，也是時代的悲哀，大背景使然，「數學王子」高斯也免不了俗，即使他也發現了第五公設的秘密，並且開始研究非歐幾何，但是懼於當時教會力量的迫害，他都不敢公開發表自己的研究成果，更別提站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶。

1854年，德國數學家黎曼又提出一種新幾何學，被稱為黎曼幾何，這也是非歐幾何中的一種。羅氏幾何和黎曼幾何的區別就是三角形內角和比180度大還是小：在羅巴切夫斯基幾何中，三角形的內角之和小於180度。而在黎曼幾何中，則不能作直線與已知直線平行，三角形的內角之和，且通過直線外一點能夠引至少兩條直線與已知直線平行，而在黎曼幾何中，三角形的內角之和大於180度，並且不能作直線與已知直線平行。

也怨不得大家不承認非歐幾何，相較於中規中矩的歐式幾何，非歐幾何要顯得詭異的多。

比如歐式幾何中，同一直線的垂線和斜線是相交的，想想顯然成立，然而羅氏幾何卻說同一直線的垂線和斜線不一定相交。歐式幾何說「垂直於同一直線的兩條直線平行」也是顯然可見，然而羅氏幾個卻唱反調「垂直於同一直線的兩條直線，兩端無限延長，離散到無窮會相交」，相同的例子還有很多很多。

那麼，該怎麼去理解非歐幾何中這些匪夷所思的說法呢？其實，歐式幾何、非歐幾何在幾何學裡的地位類似於牛頓的經典力學和相對論在物理中的地位，成立所需的約束條件是不同的。深究起來，兩者的聯繫不僅是類似，經典力學中的絕對時空觀正好對應了歐式幾何學的平整不變空間，非歐幾何中的空間則是相對變化的，平整空間變成彎曲的，這就正好對應著愛因斯坦所提出的引力扭曲空間的論斷。

非歐幾何和相對論極好的貼合，讓愛因斯坦欣喜，1915年，他引用黎曼幾何來描述他的廣義相對論空間，獲得巨大成功，他還證明了非歐空間是物質運動的一種存在形式。歷史終究是公平的，非歐幾何最終還是得到的應有的重視。

其實，想要理解非歐幾何，可以用個簡單的地球儀模型，找到0度和隨意一根經線，再找到一根緯線，三線維出的三角形，內角和一定大於180度吧？

至於平行線必相交，也很好理解：地球上赤道處的經度線，在赤道處是平行的，在兩極卻是相交的。

相關連結：

視頻 | 漢字雷射照排改變中文出版歷史

責任編輯：李浩

本作品為科普中國原創，轉載時務請註明出處。歡迎關注、轉發與分享。合作、投稿事宜請聯繫
kjcxlcb@news.cn

相關焦點

  • 兩條平行線必相交——非歐幾何的創立
    顧名思義，非歐幾何自然指的是一切和歐幾裡得幾何不同的幾何學，通常意義下，指的是羅氏幾何和黎曼幾何這兩種。狹義意義下，非歐幾何即羅氏幾何。看似所有的付出如一江春水逝去，斷了頭緒，然而並非如此，收貨了新的理論幾何學——羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。非歐幾何像歐式幾何一樣，是完善的、嚴密的幾何學。無獨有偶，就在羅氏幾何被創立的同一時期，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設是不可證明，以及「非歐幾何學」的存在。
  • 平行線也能相交?淺談非歐體系的幾何發展歷程
    平行線永不相交是大家一直熟知的定理，但你知道嗎？這只在歐式幾何中成立，在不同的體系下，平行線有可能相交。首先講一下最傳統的歐式幾何，即平面幾何。5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。這裡需要講一下「公理」與「定理」的區別：「公理」是不需要證明，具有自明性的，而「定理」必須要通過「公理」或者別的「定理」來證明。
  • 非歐幾何的創立與數學的變革
    但是，無論是把歐氏幾何作為一種哲學的表現，還是把它作為一種基督教神的教義理性，歐氏幾何中有關第五公設（即：同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側面兩個內角的和小於兩直角，則這兩條直線無限延長後在這一側相交）的論述總讓人感到有某些不盡人意的遺憾，比如語言敘述冗長，與公理、公設應有的明顯、直觀性和不證自明的真理程度似乎有些差別。
  • 俄國數學家:稱「平行線可以相交 」,到死未被認可,12年後被證實
    那便是科學家應有的科學精神。從小到大，我們就知道，兩條平行線不會相交。在初中的數學知識點中，給平行線賦予的定義是：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。以至於我局限性的定義了平行線在任何情況下，永遠都不可能相交，並且還堅定不移的相信了這個奇葩的拐點。然而，事實就是如此嗎？不，不是的！
  • 俄國數學家提出:平行線可以相交,被人嘲諷多年,死後12年被證實
    兩條平行線的相交，就是這種魅力的最好詮釋了。早在古希臘數學家歐幾裡得的《幾何原本》裡，就有構造的幾何學，而後人也正是在對歐式幾何的平行公理進行進行推斷總結後，得出了「平行線的性質」。而後來的數學家也不斷地豐富著平行線的定義，不過最根本的一點還是一直沒變，那就是平行線就是兩條永遠不會相交的直線。
  • 數學天才堅持「平行線可以相交」,生前受盡嘲諷,去世12年被證實
    而在數學界，「平行線是不會相交的」的理論深入人心。比如說我們上學的時候，學到的理論是平行線永遠都是平行的，它們永遠都不可能相交。幾何中，在同一平面內，永不相交，也永不重合的兩條直線叫做平行線。在當年，其實很多數學界都是堅持這個理論的。
  • 天才34歲證明平行線相交,卻被嘲笑打壓至死,遠超數學之王高斯
    天才34歲證明平行線相交，卻被主流數學家嘲笑打壓至死，網友：比高斯強太多中外歷史上，總有很多天才，也總有很多被埋沒被壓制的天才。最為人們所熟知的天才，哥白尼，發現了日心說，卻不敢發表，直到臨死前才敢公開研究成果。而宣傳哥白尼的布魯諾，卻被宗教裁判委員會以"宗教異端"為由，燒死在羅馬的廣場上。
  • 平行線可以相交?俄國數學家將其發現卻遭諷刺,死後才得以證明
    我們上學的時候學習數學的時候，常常覺得數學有很多難題，不過數學中學習的幾何還是很有趣的，幾何教會我們多角度地觀察問題，看的角度不同，發現的問題也會不一樣。上學的時候數學告訴我們，平行線是不會相交的，關於平行線的定義是這樣的：幾何中，在同一平面內，永不相交，也永不重合的兩條直線叫做平行線。不過俄國的數學家羅巴切夫斯基確認為平行線是可以相交的。尼古拉斯·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基出生於1792年，他是俄羅斯數學家，非歐幾何的早期發現人之一。
  • 非歐幾何將現代科學引入了歧途
    在這種情況下，俄羅斯有一個數學家羅巴切夫斯基，反其道而行之，乾脆拋棄了第五公設而假設該公理不成立，並在這個假設和承認歐幾裡得幾何其他四條公理的情況下，他發現了一個新奇的「世界」：三角形的內角和小於180度，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。羅巴切夫斯基運用了處理複雜數學問題常用的一種邏輯方法——反證法。
  • 複平面與非歐幾何
    黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點（交點）。這個非歐幾何的規定，沒有點想像力，的確很難理解。我們先嘗試用複平面來理解。如封面的圖，從北極連接到球面上的一點總是可以投影到複平面上的一點。
  • 平行線可相交被證實!原提出這個幾何理論的數學家,「含冤而死」
    ——笛福通過數學課本的學習，我們從小就知道同一平面內的兩條平行線不會相交。然而鮮少有人知道在幾何學裡還存在著和歐式幾何相矛盾的非歐幾何。俄國的數學天才羅巴切夫斯基發現了非歐幾裡的幾何學，稱平行線可相交。
  • 平行線可以相交!俄國數學家刷新人們的認知,死後才被認可
    我們在學習數學的時候，知道平行線是不會相交的，但是平行線不相交，只是在同一平面中才會成立，而不在同一平面內的兩條平行線是不一定平行的。這個理論在很早以前被俄國的數學家提出，但是直到他死後，這個理論才被人們接受。
  • 絕世傳奇——非歐幾何還原為歐氏幾何
    依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公理的等價命題——普列菲爾公理「過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交」做出否定，得到否定命題「過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交」，並用這個否命題和其他公理組成新的公理系統展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間存在任何邏輯矛盾。
  • 平行線可以相交,數學家是怎麼證明的,我們以前學的是錯誤的嗎
    我們中學時所學習到的平面幾何，可以說都屬於歐式幾何。其中平行線的定義包括三個基本特徵:1.在同一平面內2.兩條直線,3.不相交。 且在同一平面內,兩條直線的位置關係只有兩種:平行和相交。這些內容最早出現在《幾何原本》裡，由歐幾裡得編著。那麼平行線相交到底是怎麼一回事呢？這就要從兩個人說起，羅巴切夫斯基和黎曼，羅巴切夫斯基是非歐幾何的重要創始人，是他的質疑打破了人們對幾何的認知，從此走出歐式幾何，探索更廣闊的數學世界，後人稱他創造的數學門類為羅氏幾何。
  • 大數學家說「平行線可以相交」,後在嘲笑聲中去世,如今已成真理
    大數學家說「平行線可以相交」，後在嘲笑聲中去世，如今已成真理我就問大家一句話，朋友們，你們能想像出平行線相交的情況嗎？假如你在上中學數學課的時候，舉手問老師說：「老師，為什麼平行線不能相交呢？」老師多半會回答說：「大哥呀，平行線的定義就是『在平面內兩條不相交的直線』——再搗亂就給我出去！」你看，一般人根本無法想像什麼叫「平行線相交」，這句話完全沒意義的嘛。但是一百多年前，有人就較真，結果創造了一個新的幾何體系。
  • 羅巴切夫斯基:稱平行線能相交,遭嘲諷鬱鬱而終,12年後被認可
    經過30年對非歐幾何學的努力，Lobachevsky的理論終於在1868年Bertrami公布的論文中被證實。Bertrami公布了一篇關於非歐幾何的解釋的學術論文，基本上是說非歐幾何可以存在於歐氏空間的曲面，註解了非歐氏幾何的真實性。每個人都認為是荒謬的非歐幾裡德幾何，終於翻過了身子。
  • 俄國數學家稱:「平行線可以相交」,到死未被認可,12年後被證實
    我們在形容兩個人的想法沒有交集時，會形象地說，兩個人跟兩條平行線一樣。的確，我們從小就知道兩條平行線不會相交。歐幾裡得，凡是初中畢業的人，估計都對他不陌生，我們學的幾何，就是他的研究成果。歐幾裡得提出平面幾何五大公設（公理），他的幾何學給人們兩條平行線不會相交的概念。然而直到2000餘年後，一切都改變了。在1792年，俄國出生一個孩子，此孩子後來成長為一代天才數學家，他就是羅巴切夫斯基。誰也沒有想到，多年後，他居然創立了「羅巴切夫斯基幾何」。
  • 俄國數學天才稱平行線可以相交,遭嘲諷鬱鬱而終,12年後被證實!
    經過30年對非歐幾何學的努力，Lobachevsky的理論終於在1868年Bertrami公布的論文中被證實。Bertrami公布了一篇關於非歐幾何的解釋的學術論文，基本上是說非歐幾何可以存在於歐氏空間的曲面，註解了非歐氏幾何的真實性。每個人都認為是荒謬的非歐幾裡德幾何，終於翻過了身子。
  • 天才數學家認為平行線都會相交,因此被唾罵一生,結果發現是真理
    學習過初中數學的人都知道，兩條平行線是不可能相交的，首先平行線的定義就是同一平面內兩條不相交的直線。我們的思維一直是如此，如果有人告訴你，兩條平行線其實是可以相交的，只怕所有人都會大呼不可能。平行線不可能相交，這似乎已經是毫無疑問的公理了，大家的認知當中向來如此，要說兩條平行線相交，大家無論如何也想像不到。人們驚呆了，冷漠地看著羅巴切夫斯基發表他的看法。會議結束時，大家紛紛否定他的理論，但是要給出書面意見時，大家又感覺到無從反駁，就這樣，一個重要的學術會議結束了，連文稿都沒能保存下來。羅巴切夫斯基的想法是從何而來的呢？
  • 俄國天才數學家,提出三條平行線可相交遭質疑,死後12年結局反轉
    幾何中，在同一平面的兩條直線永遠不會相交，這是幾何當中非常重要的概念，根據歐式幾何定義，羅素、黎曼都假設兩條平行線無限延長，在常理當中，即便是無限延長也不會相交。