俄國數學天才稱平行線可以相交，遭嘲諷鬱鬱而終，12年後被證實
人所共知，兩條平行的直線是絕對不可能相交的，而第五公設的存在讓其成為可能。
正是這條第五公設困惑著過去許多數學家，包括羅巴切夫斯基（Lobachevsky）和他的父親在內，後者窮盡一生都在試圖證明第五公設，但遺憾抱終。
為了延續他父親尚未達成的願望，Lobachevsky決定拋開一切，專心研究第五公設。
1815年，Lobachevsky著手鑽研這個第五公設——這個尚未被歐幾裡得證明的公理，不存在任何人對這一公設產生懷疑。
多年以來，過去的數學家們竭盡全力來證明這一公設，但他們都以失敗告終。Lobachevsky決定採取同其他人相反的辦法進行，當每個人都證明了它的存在時，他則尋找一種方法來證明這一假設不可成立。
Lobachevsky花了幾年的時間才找到一種「反證法」。根據他的邏輯理論，在對第五公設反覆提出否定命題之後，一個新的公理系統由此誕生。
不過，那時的學術界不熱衷打破原本的結構，他們接連質疑這種畸形的理論。1826年，Lobachevsky發表了一篇論文，這也是非歐幾裡得幾何學的起首。
Lobachevsky論文中講述的違反規則的命題與歐幾裡得的幾何學有很大的出入。演講後，所有在場的人都保持沉默，這也代表著他們不同意這一理論。
1829年，Lobachevsky重新編寫了《幾何原理》的副本。在1832年，他請求被送往權威機構進行審查，但他再次被嘲諷。
Lobachevsky就這樣在一個一直受到質疑的社會中倖存下來，他的身體狀況不如從前，病得很重，最終失明了。1856年2月12日，Lobachevsky懷著遺憾辭世。他去世時仍在思考他的證明論據，即使他是盲人，也沒有放棄證明這一理論。
在他去世的前一年，他對學生進行了口述，並編纂了《論幾何學》。令他含笑九泉的是，他的理論在12年後得到證實，得到學術界和全世界的認同。
經過30年對非歐幾何學的努力，Lobachevsky的理論終於在1868年Bertrami公布的論文中被證實。Bertrami公布了一篇關於非歐幾何的解釋的學術論文，基本上是說非歐幾何可以存在於歐氏空間的曲面，註解了非歐氏幾何的真實性。每個人都認為是荒謬的非歐幾裡德幾何，終於翻過了身子。
說到這裡一定就有人想問問，既然平行線的定義說的很清楚，同一個平面內不相交的兩條直線稱為平行線。那還非要去討論這兩條線在什麼所謂的雙曲平面，以及其他情況下是否相交，有意義？定義裡寫的就是不相交，如果你最終論證它相交了那就已經不屬於平行線的定義範疇了，還要稱之為平行線？
在這裡我捋一捋，首先，平行定理的前前身是平行公設（平行公理），是來源於歐幾裡的第五公設，是數學大師歐幾裡得在他的著作《幾何原本》裡提出的五條公式中的第五條。這條與眾不同的公理比前四條複雜。而前四條被證實是正確的。這個第五條公設就是平行定理的前身：有另一位數學家將這個平行公設簡化為：通過此直線外的任何一點，有且只有一條直線與之平行。他這個觀點被大家普遍認可。
一個平面內不相交的兩條直線稱為平行線。其實不是科學界對平行線的嚴格定義，只是一個通俗的說法而已。
正是因為本文中的Lobachevsky提出了平行公設的反例，大家才發現這第五條公設是有問題的，才重新定義了平行線的定義，加入了「同一平面內」這個限制。
這裡說的是第五公設。不是我們理解的兩條平行線一定會相交！事實證明兩條平行線不相交在我們理解的單一平面裡是正確的！
歐氏幾何與非歐幾何
說實話，非歐幾何確實很難被世人接受。即使現在也一樣。我總覺得波粒二象性實驗，電子躍遷現象與之有關。但自己並不是專業人士，只能臆想。我常在想躍遷現象的存在是不是證明了兩個不同空間位置的平面其實是一個，也就是說空間中任何一個點在另一平面空間有對應的點互相影響。這也許是量子現象的根本原因。
直觀來講，歐氏幾何就是平面上的幾何，平面上兩條直線是不會相交的。而球面幾何中，兩條直線，類比於地球儀上的經線與緯線，任何兩條平行直線必定相交。我們說平面幾何中兩條直線在無窮遠處相交，這也是一個模糊的概念。如果只是普通的平面，直線也是不會相交的，即使在多遠都不會。而在平面上添加一個——無窮遠點∞——時，平面則發生了變化，它使得四四方方的平面變成了像橘子皮一樣的形狀。由於我們要求任何一條直線在向外延伸時都能到達無窮遠點，所以，無窮遠，是所有直線的交點。
可以這麼說：在非歐幾何中，能夠真正理解「兩條平行線相交於無窮遠處」的人，是數學能力很強的人。否則，就難說了。用很多人的話來說，就是「兩平行線會相交？胡說！」
再打個比方：一條長為1米的線段AB跟一條長為99999999999999999999999米的線段CD，用嚴格的數學可以證明:線段AB與CD上面的點是「一樣多的」。這是99.9%的常人所不能理解和容忍的！
平行線相交。最簡單的例子是地球上的每個子午線（直線）都與赤道線垂直，因此它們彼此平行，但是由於空間曲率，這些子午線再次在極點相交。
這就可歸結於球面理論，可以理解為，現在赤道上由東向西一直飛，最後回到了初點。一條想像中的直線和自己相交了，這個現象放在理論中，就是三維空間裡的兩條直線，在四維空間下是相交的，就仿佛你在紙面上劃兩條平行線，然後捲起來成一個蛋卷，他們必然相交。
還有個例子：比如你站在兩條鐵軌之間，無論你沿著鐵軌走多遠，鐵軌都是不相交的，但還是可以認為鐵軌在無窮遠處有一個交點（因為無窮遠的定義就是你永遠達不到的那個點）。在思考這類問題時，基本定義很重要，比如這裡提及的直線，即平面上兩點間最短連線，即便你以三維生物的視角觀察到的經線是曲線，但按照定義，經線就是（二維球面中的）直線，而那個無窮遠的交點就是極點了。
既然是射影幾何，那無窮遠就是真實的概念。沒道理說「並不是真正意義上的相交」，頂多說「不是歐氏幾何意義上的相交」。
比如二維（resp.d-維）射影幾何可以定價地用三維（resp. (d+1)-維）歐氏幾何表示。
點 過原點的直線；
線 過原點的平面；
兩直線相交與一點 兩過原點的平面相交與一條過原點的直線；
無窮遠線 一個平淡無奇的過原點的平面；
無窮遠點 上述平淡無奇的過原點的平面中的過原點的直線。
不要以「觀測條件」去判定一條線是不是直線，判定規則只有一個，那就是直線的定理。我想你之所以無法理解，就是一直以三維的視角去看待二維曲面：這裡我說的經線是「直線」，只是因為它符合球面上的直線定理；而你說它是曲線，那是因為你以三維視角去看，這經線上任意兩點最短路徑不是這經線本身，但你也要知道，你所觀測到的這個最短路徑是不在這個球面上的（比如穿過葡萄的一根牙籤），也就超出了這個球面上所能規定的「直線」範圍，必然不可同日而語。定理很重要。
再者你能說出一個自然界中完美的歐氏幾何的圓嗎？圓是從自然界中一切近似圓形的形象通過人的思維抽象出來的，點、直線、三角形、立方體、圓柱體無不如此。不過你的想法也不算是錯的，你可以看看科學史，數學本來是具有真理性的，後來各種所謂「自然界中不存在」的數學理論（首先是非歐氏幾何）大量出現，推動了認識的進步，數學從真理性的桎梏中解放出來，用真理性換來了自由度，真正變成了人類認識世界的最強工具。所謂「自然界中不存在」也不是說真的不存在，比如非歐幾何只是在我們日常的尺度下不存在，而到整個宇宙空間當中它就是最完美的認識了。