自從數學誕生之日起，什麼是它最偉大或者說最引人注目的發明呢？可能的答案有兩個：一個是微積分，另一個是非歐幾何。其中非歐幾何對我們的觸動也許更大。因為它太不平常了，它的發現有如哥倫布發現新大陸、弗洛伊德發現無意識，在人類的視野中打開了一片廣闊的新天地，一片無人走過的、肥沃的處女地，人類在這裡可以盡情地耕耘、收穫。
01歐氏幾何第5公理的否定導致非歐幾何的誕生
千年以來，歐幾裡得幾何一直被認為是唯一的幾何學，《幾何原本》中的內容也被當成不可更改的至高真理，而歐幾裡得在《幾何原本》中提出的五個公設也當然地被視為這至高真理的核心。這五個公設分別是：
1、給定兩點，可連接一線段。
2、線段可無限延長。
3、給定中心和圓上一點，可作一個圓。
4、所有直角彼此相等。
5、如一直線與兩直線相交，且在同側所交的兩個內角之和小於兩個直角，則這兩直線無限延長後必定在該側相交。
第五條公理又稱平行公理（Parallel Postulate），簡單來說就是：過直線外一點有且只有唯一一條直線與已知直線平行，這是歐氏幾何的理論基礎。被歐幾裡得認為是理所當然、無需證明的，是他整個幾何學的基礎理論。那麼實際情形是不是真的這樣呢？前面四個公設大家都沒有什麼意見，它們都簡單明了、一目了然、令人信服。這第五公設就不大一樣了，它要長得多，作為一個應該是不言而喻的公設顯然不夠自明。
因此，便有許多數學家試圖通過各種方法，例如通過前面四條公設以及歐幾裡得的五條公理，來證明之。但結果無一成功。於是便有聰明人反其道而行之，否定它，看會有什麼結果。這一否定便掀開了幾何學乃至整個數學史上革命性的一頁一非歐幾何的誕生。
02歐氏幾何創立者羅巴切夫斯基，羅氏幾何也稱想像幾何或雙曲幾何
最早創立非歐幾何的是高斯，但他並未公布之，這我們上面剛剛說過了，所以這個創立者的榮譽就歸於羅巴切夫斯基了。
羅巴切夫斯基1793年生於俄羅斯的下諾夫哥羅德，在他只有7歲時父親就去世了，母親被迫搬到了比下諾夫哥羅德更加偏遠的喀山。羅巴切夫斯基從小刻苦學習，成績優異，從小學到大學都得到了獎學金，免費上學，1811年從喀山大學畢業並且獲得碩士學位時才18歲，留校後23歲時就成為教授，34歲時成了喀山大學的校長。
1826年2月，他在喀山大學物理數學系的一次學術會議上，作了題為《附有平行線定理的一個嚴格證明的幾何學原理之簡述》的學術報告，在報告中他闡述了一種「虛幾何學」存在的可能性。這「虛幾何學」就是非歐幾何，這一天後來被公認為非歐幾何的誕生之日。
在推演過程中，羅巴切夫斯基得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。這些命題和我們所習慣的直觀有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有像歐氏幾何那樣容易被接受。例如三角形的內角和小於180度。凡是涉及平行公理的結論，羅氏幾何的結論都是不成立的。
由於太過超前，所以羅氏幾何一直不為主流學術接受。1855年，適逢喀山大學建校50周年，羅巴切夫斯基作為已經離職的老校長參加典禮，隨身帶去一部《泛幾何學》，系統地記錄了他的非歐幾何思想，這也是他一生思想的總述。幾個月之後，1856年2月，羅巴切夫斯基去世了，時年62歲。
由於太過超前，所以羅氏幾何一直不為主流學術接受。直到1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。
直到這時，長期無人問津的羅氏幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也由此得到學術界的高度評價和一致讚美，這時的羅巴切夫斯基則被人們讚譽為「幾何學中的哥白尼」，可惜他本人已經於1856年去世了。人們後來發現，羅氏幾何在研究宇宙空間或原子核世界的時候，比歐式幾何更符合客觀實際,並且在醫學上已有獨特的應用。
羅巴切夫斯基所創立的非歐幾何也只是非歐幾何大廈的一部分。可以說，羅巴切夫斯基的非歐幾何與歐幾裡得的古典幾何學都只是一種更為廣泛的幾何學的一部分，在它們之上還存在著一種更新，也更為根本的幾何學。這種更為基本的幾何學就是黎曼幾何學。羅巴切夫斯基幾何學與黎曼幾何學合起來才是完整的非歐幾何學。
03 黎曼借羅氏理論的思想創造了另一種非歐幾何——黎氏幾何，又稱為橢圓幾何
黎曼是德國人，1826年生於漢諾瓦。父親是一個新教路德派的牧師，母親很早就去世了。大約從6歲起黎曼開始學習數學，很快便露出了這方面的天才，十來歲時已經開始學習高等數學了。
1846年，他進入哥廷根大學神學系，但很快轉到了數學系。這時候黎曼又開始喜歡物理學，由於埋首鑽研物理，他的數學博士論文直到1851年才完稿，然後他將之呈給了偉大的高斯，獲得了高斯極高的評價。1853年底，黎曼向哥廷根大學遞交了他的講師就職論文《關於利用三角級數表示一個函數的可能性》並順利獲得講師資格。為了正式上課，他還得進行一次就職演講，這是一種當堂講演，類似於上課，聽課的學生則是考評他講課能力的教授們，其中包括高斯。
他就職演講的題目是《關於構成幾何基礎的假設》。這個講演被稱為數學史上最著名的講演之一，黎曼幾乎以之勾勒出了一套全新的幾何學，這就是黎曼幾何學。1859年，黎曼成為哥廷根大學的天文學教授兼天文臺臺長，這年他只有33歲。次年，黎曼發表了《關於熱傳導的一個問題》，在其中發展了二次微分形式。這篇文章有什麼意義呢？很簡單，50來年後，愛因斯坦的相對論就是以這種方法為基礎的。
黎曼從小健康狀況就不好，1864年底，健康已經惡化的黎曼到了義大利的塞拉斯加休養，住在湖畔的一棟別墅裡。一年多後死於此，未滿40歲。黎曼雖然一生短暫，但對數學做出的貢獻極大，數學裡有許多用「黎曼」來命名的數學名詞：例如函數論有黎曼方法、關於代數函數有黎曼一羅赫定理、黎曼曲面、黎曼映射定理、黎曼積分、三角級數理論中的黎曼方法、黎曼幾何、黎曼曲率、黎曼（函數、黎曼假設，如此等等。
04為什麼從共同的基礎出發會產生兩種不同的非歐幾何呢
我們知道，兩種非歐幾何是從否定歐幾裡得幾何學的第五公設出發而建立的。為什麼從共同的基礎出發會產生兩種不同的非歐幾何呢？我們還是從第五公設來看吧。
歐幾裡得的第五公設可以簡單地表述為：經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。對它的否定有兩種可能。第一種可能是：在同一平面上，經過直線外一點，不止一條直線與已知直線平行。第二種可能則是：在同一平面上，經過直線外一點，沒有直線與已知直線平行。
那麼這兩種說法哪種對呢？答案是：兩種都對。羅巴切夫斯基正是從前者出發，得出了他的羅巴切夫斯基幾何學，而黎曼則從後者出發，得到了他的黎曼幾何學。我們先來看更早誕生的羅巴切夫斯基幾何學。羅巴切夫斯基幾何學的出發點是羅巴切夫斯基平行公理：在同一平面上，通過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行。我們這裡要注意的是，這裡的平行意思就是永不相交。
依據這個公理，羅巴切夫斯基得出了一系列的其他定理，我們這裡目舉幾個：
1、在同一平面上不相交的兩直線，被第三條直線所截，同位角（或內錯角）不一定相等。
2、同一直線的垂線和斜線不一定相交。
這兩個定理可以用圖示如下：
在左邊的圖形中，就是說直線a與直線b是永不相交，即平行的，而且∠α≠∠β。而右邊的圖形中，直線a和b永不會相交。
3、三角形內角和小於兩直角。
4、兩三角形若有三內角對應相等，則兩三角形全等。
如此等等，類似的定理還有很多。看得出來，這四個定理與我們在歐幾裡得幾何學中所見過的都大為不同，而且似乎都是錯的，不符合我們的直觀。然而，如果深究它們，卻可以發現在這貌似謬誤之下蘊藏著深刻的真理。
我們再來看黎曼幾何學。黎曼幾何學的出發點是上面否定歐幾裡得第五公設的第二種可能性，即在同一平面上，經過直線外一點，沒有直線與已知直線平行。或者也可以說成：在同一平面上，任何兩條直線一定相交。或者還可以說成：世界上並不存在無限延伸的直線，任何直線都是有限的。
為什麼這麼說呢？我們如果真的沿著歐幾裡得那種純粹的「平面」上的直線行走，那麼自然永遠走不到盡頭，也就是說直線是無窮的。但實際上有沒有這樣的平面呢？沒有。舉個例子吧，假設我們在大地上的某一點鋪一根長長的白紙條，一路鋪過去，就像一路將一條直線畫過去一樣，那麼這紙條會不會永遠沒有盡頭呢？答案是否定的。事實上，鋪過很長很長後，我們會發現，前面就是我們之前出發的端點。
這樣的原因大家都明白：因為地球是一個球體，因此那些我們在地上畫出來的直線實際上並非直線，而是曲線。當我們順著地球表面延伸時，它走過的路實際上有如地球的一條經線或緯線，這樣當然必定相交。與直線相應，由直線的一部分線段構成的三角形也差不多，我們現在在紙上畫一個三角形，看上去好像是由三條直線構成的，實際上不是，由於它們是畫在一張紙上的，而紙是鋪在大地上的，而大地表面可不是理想的平面，而是一個球面，因此那三角形也就是一種「球面三角形"。
這種球面三角形有什麼特點呢？它的主要特點就是三內角和大於180°。這就是黎曼幾何學得出的另一個獨特的定理，可以看出來，它與羅巴切夫斯基幾何學中的三角形三內角和小於兩直角剛好相對。進一步地，黎曼設想出了這樣一種幾何學，它適合各種面，包括平面與曲面。就像在丘陵地帶行走一樣，它有些地方是平坦的，但有些地方卻有著各樣的山包高地等。
在這樣的地形，兩點之間距離的計算公式將隨著地點的不同而變化，例如在平面上是直線的，到了山包就是曲線了，二者計算距離的公式當然有所區別。因為這裡有了一個所謂「曲率」的問題，而黎曼就是要找到這樣一種幾何學，它能夠根據曲率的不同而自行調整，並且能夠計算出各種曲率下的距離等。與線段的長度相似，黎曼認為平面與立體的空間也是這樣，它也有著自己的「曲率」，由於「曲率」的不同，空間呈現不同的形式，他的幾何學能夠將所有這些空間統一起來。所有這些空間被總稱為「黎曼空間"。
看得出來，黎曼空間較之我們平常所稱的空間內容要豐富得多，我們平常所稱的空間乃是黎曼空間的一種特殊形式，精確地說，它就是歐幾裡得幾何學的空間，它的曲率為零。與之相對，羅巴切夫斯基幾何學中的空間的曲率為負，而黎曼幾何學的空間曲率為正。所有這些空間都屬於「黎曼空間」。這「曲率」說明了什麼呢？簡而言之，它說明了空間就像線一樣是可以彎曲的，它可以有自己的「曲率」，即彎曲的比率、程度或者形式。空間難道可以彎曲嗎？有點不可思議吧？但事實上它不但可以，而且這彎曲的空間並非一種純粹的數學幻想，而是實際存在的，它後來被愛因斯坦證實了，這就是我們後面講物理學時要說的廣義相對論。
從黎曼幾何發現起，就註定了不平凡，經過後續無數數學家們的完善和發展，黎曼幾何不僅對拓撲學、偏微分方程、多複變函數理論等數學分支產生重要影響，更直接影響現代物理學的發展。
愛因斯坦，在1915年發表了著名的廣義相對論，正是以黎曼幾何為數學基礎。
愛因斯坦在廣義相對論裡說明到：「放棄了關於時空均勻性的觀念，認為時空只是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。」
這個關於時空的物理解釋，正是黎曼幾何的數學觀念，因此，愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何本質上就是黎曼幾何。
除了羅氏幾何和黎曼幾何外，還有其他一些非歐幾何值得我們去關注。
射影幾何
它是專門研究圖形的位置關係的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。
拓撲幾何
拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數學家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，德國數學家黎曼在複變函數的研究中強調研究函數和積分就必須研究形勢分析學，從此開始了現代拓撲學的系統研究。哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
05帶給我們的思考
實數到虛數，從歐氏幾何到非歐幾何，不僅是一種數學上突破，其背後蘊含著思維方式的轉變，實際是體現的也是哲學觀的轉變。
1、 突破人類思維的慣性，尊重經典，但不迷信經典
從歐氏幾何到非歐幾何的突破並不是來源於現實生活的需要，而是人類思維主動尋求突破的結果。在這一全新的概念被發掘建立的時候，現實中並沒有表現出對它們的強烈需要，其創立是數學家們大膽地否定創新，天馬行空地思維想像產生的，而天馬行空的想像是思維主動性的重要體現。人的思維是有慣性的，一個新的理念和新的概念提出，往往很難被人接受，但科學探索的的意義就是要打破人的思維慣性。
2、思維的突破為世界打開全新的窗戶
在科研的過程當中，理論和實踐是一對統一的概念，有時候是通過創新性的實踐推動了理論的發展，這一點在自然科學領域尤其明顯，很多科學發現都是源自於現實中的觀測和實驗結果，科學家在總結大量實踐規律的基礎上完成了理論創新。但事實上理論的創新也可以反過來推動科學實踐的發展。很多時候理論創新的重要性並不能夠在很短的時間內體現出來，非歐幾何的創新都在很長一段時間內被學界認為是毫無意義的，甚至被認為是鑽牛角尖的產物，沒有任何的現實意義，但事實上經過了時間的沉澱，這些概念不僅沒有消沉，反而大放異彩。
3、遇到問題，要敢於和善於否定
從歐氏幾何到非歐幾何無不開始於大膽地否定。在非歐幾何的創立過程中，數學家千百年來無法證明平行定理，於是便推翻平行定理，否定了歐氏幾何的理論基礎，將幾何由平面空間推向了彎曲空間。在大膽地否定之後產生了全新的概念，這是對原概念邏輯的衝擊和否定，但新概念和舊概念並非是完全對立的，大膽創新形成的新概念和舊概念一起構成了全新的數學體系。非歐幾何則作為歐氏幾何的對立，與歐氏幾何一同完善了幾何學的理論框架，二者一同形成了更廣闊深遠的幾何概念。這是一個否定之否定的過程，從矛盾產生到矛盾的消解，經過一個螺旋上升的過程，將科學理論提升到一個全新的高度。數學領域如此，哲學社會科學領域是不是更加如此呢？
參考文獻：[1]王樹茗. 非歐幾何的由來與現狀[J]. 數學通訊：教師閱讀, 2017(4):11-17.