來源：CAEandCFD公眾號（ID：feaforall）
流體力學 (Fluid Mechanics) 有著非常漫長的歷史，最古老的涉及流體力學的人物可能就是古希臘的阿基米德了 (Archimedes)，大家都知道的阿基米德浮力定理，當時阿基米德在羊皮紙上用希臘語寫了論浮力 (On Floating Bodies) 的文章並流傳至今。但是在很長時間裡流體力學並不被當作一門獨立的學科，直到1687年牛頓 (Isaac Newton) 在其劃時代的巨著《自然哲學的數學原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 之後流體力學才真正走上歷史舞臺。在書中除了著名的牛頓三大定理以外，牛頓還提到流體力學相關的內容，他寫到：對於平直的均勻流體，流體層與層之間的剪應力正比於垂直流體方向上的速度梯度。
阿基米德的手稿
牛頓的《自然哲學的數學原理》
除了阿基米德和牛頓以外，在流體力學的發展歷程中，做出貢獻的人物可以說是陣容豪華，比如非粘性流體 (Inviscid flow) 數學分析涉及的人物有歐拉 (Leonhard Euler), 達朗貝爾 (Jean le Rond d'Alembert)，拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange), 拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)，泊松 (Siméon Denis Poisson)；非粘性流體的數學分析涉及的人物有高斯 (Guass)，泊松，聖維南 (Saint-Venant) 等等，其它在流體力學中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推動者有雷諾 (Osborne Reynolds)，泰勒 (Geoffrey Ingram Taylor) 等等。而對這些理論歸納整理的兩位科學家就是納維爾 (Claude-Louis Navier) 和斯託克斯 (George Gabriel Stokes)，當今有名的納維爾-斯託克斯方程組 (Navier-Stokes Equations) 就是以他們倆的名字命名的，也是今天要講的主題。
納維爾
克勞德-路易·納維爾 (Claude-Louis Navier,1785年2月10日-1836年8月21日) 是一位法國工程師與物理學家，主要貢獻在力學領域。
納維爾的父親在1793年過世，納維爾的母親讓她的叔叔Emiland Gauthey來教育納維爾。1824年納維爾進入法國科學院，1830年時擔任國立橋路學校的教授，次年接替奧古斯丁·路易·柯西，在巴黎綜合理工學院擔任微積分及力學的教授。
納維爾在1821年將彈性理論以數學公式的形式表示，使這個領域第一次可以計算有足夠精確度的結果。1826年納維爾確認彈性模量是材料的一個基本屬性，和物體的截面二次軸矩無關，因此納維爾也是結構分析的創始者之一。
當然，納維爾主要的貢獻還是納維爾－斯託克斯方程，是流體力學的理論中心。由於其卓越的貢獻，納維爾也是法國艾菲爾鐵塔上所刻的72人名字之一（還有拉格朗日，拉普拉斯，傅立葉等大家）。
艾菲爾鐵塔上刻有象徵法蘭西科學精神的72個人物名字的位置
喬治·加布裡埃爾·斯託克斯
喬治·加布裡埃爾·斯託克斯爵士 (eorge Gabriel Stokes,1819年8月13日-1903年2月1日)，愛爾蘭數學家和物理學家，就讀和任教於劍橋大學，主要貢獻在流體動力學、光學和數學物理學（如大家熟知的斯託克斯公式）。他曾任英國皇家學會秘書和會長。
他出生在新教徒家庭，父親是愛爾蘭斯萊戈郡教區牧師。先後在都柏林、布里斯托就讀，1837年考入劍橋大學彭布羅克學院。四年後以最高分畢業，並獲得史密斯獎。1849年獲盧卡斯數學教授席位，1854年出任皇家學會秘書，1885–1890年期間出任會長。1889年被封為從男爵。1899年6月1日，他任盧卡斯教授50周年，劍橋大學舉行了盛大慶祝會，校監向他頒發金牌。
1842至1843年，他刊出第一批論文，關於不可壓縮流體的穩定流動。其後在1845年，他就流體流動的摩擦力及彈性固體的平衡和運動發表論文，在1850年探討流體的內部摩擦力對擺運動的影響。他也曾就聲音的理論作出貢獻，如風對聲音強度的影響。他的研究標誌著流體動力學的新裡程，不但有助解釋自然現象（如空中雲的運動、水中漾和浪的運動等），更有助解決技術問題，如水在河和管道中的流動以及船隻的表面阻力等。
前面我們曾說到，在CFD流體力學中，最重要的方程就是納維爾-斯託克斯方程 (Navier-Stokes equations)，這並不是一個單一的方程，而是一個方程組，是在眾多科學家和工程師的推動下產生的。在流體力學中，有很多方程，但很多方程都和納維爾-斯託克斯方程有著聯繫，可以說，該方程在流體力學中起著基礎性的作用，但也起著決定性的作用，套用指環王的故事，Navier-Stokes equations可以比做至尊魔戒，其它大大小小的方程比做各個流體力學國度國王擁有的普通戒指，那麼可謂是一戒統領眾戒 (one ring rules all rings)。
數學家、科學家伊恩·斯圖爾特 (Ian Stewart) 出過一本書，名叫《17 Equations That Changed The World (改變世界的17個方程)》。其中大多數公式我們都見過，裡面就包括納維爾-斯託克斯方程。
Navier-Stokes equations已經滲透到描述流體的方方面面，也在眾多實際工程中得到了應用。但意外的是，這個方程的數學特性——解的存在性和光滑性至今沒有得到證明。
納維-斯託克斯存在性與光滑性是有關納維-斯託克斯方程其解的數學性質有關的數學問題。方程可以描述空間中流體（液體或氣體）的運動。納維爾－斯託克斯方程式的解可以用到許多實際應用的領域中。不過對於納維－斯託克斯方程式解的理論研究仍然不足，尤其納維－斯託克斯方程式的解常會包括紊流。雖然紊流在科學及工程中非常的重要，不過紊流仍是未解決的物理學問題之一。
許多納維爾－斯託克斯方程式解的基本性質都尚未被證明。例如數學家就尚未證明在三維座標，特定的初始條件下，納維爾－斯託克斯方程式是否有符合光滑性的解。也尚未證明若這樣的解存在時，其動能有其上下界，這就是「納維-斯託克斯存在性與光滑性」問題。
由於了解納維爾－斯託克斯方程式被視為是了解難以捉摸的紊流現象的第一步，克雷數學研究所在2000年5月提供了一百萬美元的獎金給第一個證明該方程的人。這也是美國克雷數學研究所 (Clay Mathematics Institute) 在2000年提出的7個千禧年大獎難題中的問題之一。克雷數學研究所設定了該問題具體的數學描述：
在三維的空間及時間下，給定一起始的速度場，存在一向量的速度場及純量的壓強場，為納維－斯託克斯方程式的解，其中速度場及壓強場需滿足光滑及全局定義的特性。
我們不妨看看該問題具體的描述（以下方程的描述來自維基百科）：
以數學的觀點來看，納維爾－斯託克斯方程是一個針對任意維度向量場的非線性偏微分方程；從物理及工程的觀點來看，納維－斯託克斯方程是一個用連續介質力學描述液體或非稀疏氣體運動的方程式組。此方程式是以牛頓第二運動定律為基礎，考慮一黏滯性牛頓流體的所有受力，包括壓強、黏滯力及外界的體積力。
由於克雷數學研究所提出的問題是在三維空間下，不可壓縮的勻質流體為準，以下也只考慮此條件下的納維－斯託克斯方程。
令v(x,t)為描述流體速度的三維向量場，且p(x,t)為流體壓強。納維爾－斯託克斯方程為：
其中：
v>0為動黏滯度；
f(x,t)為外力；
▽為梯度運算子；
Δ為拉普拉斯算子，也可寫為▽·▽。
上述方程是向量方程，可以分解為三個純量的方程，將速度及外力分解為三個座標下的分量：
則納維－斯託克斯方程可寫成以下的形式，i=1,2,3：
其中的未知數有速度v(x,t)及壓強p(x,t)。由於只考慮三維空間，因此有三個方程及四個未知數，分別是速度的三個分量及壓強，還需要一個方程才能解出所有的未知數。這個新增的方程是描述流體不可壓縮性的連續性方程式：
所以納維－斯託克斯方程解的速度會是無散度的向量函數。對於在均勻介質中的無散度流，其密度及動黏滯度為定值。具體方程的展開這裡不再說明。
目前納維爾-斯託克斯方程的證明進展如下：
二維空間下的納維爾-斯託克斯問題已在1960年代已經被證明：存在光滑及全局定義解的解。
在初速v(x,t)相當小時此問題也已得證：存在光滑及全局定義解的解。
若給定一初速v0(x)，且存在一有限、依v0(x)而變動的時間T，使得在R³×(0,T)的範圍內，納維-斯託克斯方程有平滑的解，還無法確定在時間超過T後，是否仍存在平滑的解。
數學家讓·勒雷在1934年時證明了所謂納維-斯託克斯問題弱解的存在，此解在平均值上滿足納維-斯託克斯問題，但無法在每一點上滿足。
當然，雖然說納維爾-斯託克斯方程描述了流體領域的大部分條件，不過也有其適用範圍，該方程只適用於牛頓流體，什麼是牛頓流體呢？簡單說就是：任一點上的剪應力都同剪切變形速率呈線性函數關係的流體。一般高黏度的流體是不滿足這種關係的，說明牛頓流體和非牛頓流體有個簡單的例子就是大家熟知的虹吸現象。在低黏度下，虹吸要進行下去，吸取口必須在頁面以下，但非牛頓流體的高黏度流體下，吸取口哪怕高於液面，其虹吸依然能夠進行，因為黏度太大了，這個還是很容易想像到的。
那麼，可能有人要問了，居然有不適用納維爾-斯託克斯方程的流體，那麼該方程是不是就不完備了。是的，方程是不完備，不能一統流體世界的天下，不過對於工程應用來說，大部分情況還是處理牛頓流體，或者可以近似為牛頓流體，這樣納維爾-斯託克斯方程基本就是流體世界的王者了。
低黏度下的虹吸現象（吸取口低於液面）
高黏度下的虹吸現象（吸取口高於液面）
說到這裡，或許可以告一段落了，但或許有人也有點困惑，有些人會想：雖然我數學沒那麼厲害，但感覺納維爾-斯託克斯方程的證明對於數學家來說應該不難吧，這麼幾百年過去了難道都沒有一個數學家站出來證明他嗎。我們已經徵服了描述時空的相對論，讓我們翱翔到宇宙深處；我們也已經很大程度上徵服了量子力學所描述的微觀世界，讓我們體驗到神奇的量子世界，那裡有宇宙大爆炸，有浪漫的平行宇宙。可是，對於一個函數來說，其解的存在性和光滑性（可以看做高中數學中函數的連續性）都不能被證明，實在匪夷所思啊。
有些數學問題看似簡單，但對數學家來說，要證明其絕對的正確性，卻並不一定是個易事，比如前面提到的美國克雷數學研究所提出的7個千禧年難題，其起草者之一安德魯·懷爾斯 (Andrew Wiles)，他在1993證明了難倒數學界300多年的費馬大定理 (Fermat's Last Theorem)，而費馬大定理本身看似也是非常的簡單，其問題描述如下：
就是這樣一個人人都能看懂的問題，卻耗費了數學界300多年才得以解決，可想而知，對於數學證明來說，遠沒有我們想像的簡單。
希望，在我們這個時代，納維爾-斯託克斯方程 (Navier-Stokes Equations) 能夠得到證明，為我們打開自然界的奧秘！
聲明：本微信轉載文章出於非商業性的教育和科研目的，並不意味著支持其觀點或證實其內容的真實性。版權歸原作者所有，如轉載稿涉及版權等問題，請立即聯繫我們，我們會予以更改或刪除相關文章，保證您的權利！