韓信點兵背後的數學故事

2020-12-14 騰訊網

韓信點兵的典故出自《史記》。漢高祖劉邦問大將韓信:「你看我能帶多少兵?」韓信回答說:「陛下你最多能帶十萬兵吧!」漢高祖聽了不大高興,於是問:「那你呢?」韓信非常驕傲地說:「我來點兵,當然是多多益善!」劉邦心中更加的不高興了,就想了個方法為難韓信。

他傳令叫來一小隊士兵,讓他們隔著牆在外面列隊。劉邦發令三個人站成一排。不久後,有人進來報告說最後一排只有兩個人。劉邦又傳令五個人站成一排。隨後又有人進行報告說最後一排只有三個人。劉邦再次傳令七個人站成一排。得到報告說最後一排只有兩個人。

這時,劉邦望向韓信問:「敢問將軍,這隊士兵總共有多少人?」韓信想也沒想,脫口而出:「二十三人。」劉邦大驚,心生殺機。其實放在現代,這個問題轉換成數學思想就是:「一個正整數,被3除時餘2,被5除時餘3,被7除時餘2,如果這數不超過100,求這個數

首先找出能被5與7整除而被3除餘1的數70,被3與7整除而被5除餘1的數21,被3與5整除而被7除餘1的數15。

所求數被3除餘2,則取數70×2=140,140是被5與7整除而被3除餘2的數。

所求數被5除餘3,則取數21×3=63,63是被3與7整除而被5除餘3的數。

所求數被7除餘2,則取數15×2=30,30是被3與5整除而被7除餘2的數。

又,140+63+30=233,由於63與30都能被3整除故233與140這兩數被3除的餘數相同,都是餘2.同理233與63這兩數被5除的餘數相同,都是,233與30被7除的餘數相同,都是2所以233是滿足題目要求的一個數。

而3、5、7的最小公倍數是105,所以233加減105的整數倍後被3、5、7除的餘數不會變,從而所得的數都能滿足題目的要求。由於所求僅是一小隊士兵的人數,這意味著人數不超過100,所以用233減去105的2倍得23即是所求。

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