李永樂談2004年研究生入學線性代數考題

2020-12-13 搜狐網

　　今年線性代數共有20個考題，但數學一與數學二有4個題完全一樣，另一題的題型仍是一樣的.區別僅在方程組未知數的個數是n與4，而數學三與數學四有一個題完全一樣，實際

　　上有14個不同的考題，所涉及的知識點有：

　　含參數的3階、4階及n階行列式的計算，通過矩陣方程轉換到抽象行列式的計算.

　　矩陣方冪的計算(涉及相似、分塊、對角等)、初等矩陣性質的運用、矩陣等價、AB　=　0、正交矩陣幾何意義、秩的概念與性質.

　　含參數向量的線性表出、由矩陣秩判斷向量組線性相類.

　　齊次、非齊次線性方程組求通解、解的性質的運用、基礎解系中向量個數的判定與求法.

　　求矩陣的特徵值與特徵向量、相似對角化的判定與計算、實對稱矩陣特徵值性質、由特徵向量反求矩陣A.

　　二次型的秩

　　縱觀04年考題，難度上比03年略有下降，要重視對基本概念、基本方法及原理的考核，注重知識點的銜接與轉換，試題的靈活性有所加強.從閱卷反映出的問題看，有些同學複習備考不紮實、有動手晚倉猝上陣之嫌，有的考生計算能力實在太差，基本計算錯誤屈層出不窮，也有些同學在概念、原理的理解上有偏差，邏輯推理不嚴謹，…….下面通過對幾個考題的分析，希望對05年考研同學如何複習線代能有所幫助.

　　例1　(04，4)設，，其中P為3階可逆矩陣，則=______________.

　　[分析]本題考查n階矩陣方冪的計算.

　　.

　　因為

　　利用分塊矩陣的方冪

　　易知

　　從而

　　那麼，由有

　　因此

　　故

　　例2　(04，)設矩陣，矩陣B滿足，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則|B|=_____________.

　　[分析]由於，易具本題|A|　=　3，用A右乘矩陣方程的兩端，有

　　又因，故|B|=

　　[評註]填空題難度不大，計算量也不會太大，主要考查考生對基本概念、定義、公式、基本定理、基本性質和基本方法的識記、理解、掌握和簡單運用.同時考查快捷準確運算能力和簡單推理能力.鑑於此考生在複習時要注重基礎，對基本運算要正確熟練.要提高運算能力，不能華而不實，浮燥.

　　例3　(04，)設A，B為滿足AB　=　0的任意兩個非零矩陣，則必有

　　(A)A的列向量組線性相關，B的行向量組線性相關

　　(B)A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關

　　(C)A的行向量組線性相關，B的行向量組線性相關

　　(D)A的列向量組線性相關，B的列向量組線性相關[　]

　　[分析]設A是矩陣，B是矩陣，且AB　=　0，那麼

　　由於A、B均非零矩陣，故.

　　由秩的列秩，知A的列向量組線性相關.

　　由秩的列秩，知B的行向量組線性相關.

　　故應選(A)

　　例4　(04，)設n階矩陣A與B等價，則必有

　　(A)當|A|　=　a時，|A|　=　a

　　(B)當|A|　=　a時，|B|　=　a

　　(C)當|A|時，|B|　=　0

　　(D)當|A|　=　0時，|B|　=　0

　　[分析]所謂矩陣A與B等價，即A經初等變換得到B，而A與B等價的充分必要條件是A與B有相同的秩.

　　經過初等變換行列式的值不一定相等，也不一定是相反數.例如，若把矩陣A的等1行乘以5得到矩陣B，那麼A與B等價，而|A|　=　a時，|B|　=　5a，可知(A)與(B)均不正確.

　　若|A|，說明，而|B|　=　0說明與A、B等價有相同的秩不符.(C)不正確.

　　當|A|　=　a，秩，故秩，那麼|B|　=　0，即(D)正確.

　　[評註]選擇題主要用於考查考生對數學基本概念、基本方法的掌握程度以及比較、判別能力.還可以用於鑑別考生易於出現的方法和概念性錯誤.

　　例3把AB　=　0、矩陣的秩、向量組的秩、向量組的線性相關性等概念串聯、轉換.例4把矩陣等價、行列式、矩陣的秩銜接起來，只有平時重視對概念的複習，多從不同的角度不同的側面進行思考，接口切入點多了做題才能順手.

　　例5　(04，3)設,，試討論當a,　b為何值時

　　(I)不能由線性表示；

　　(II)可由惟一地線性表示，並求出表示式；

　　(III)可由線性表示，但表示式不惟一，並求出表示式.

　　解設有效使得

　　(≠)

　　記A　=　(　).對矩陣(A、)施以初等行變換，有

　　(I)當a　=　0,　b為生意常數時，有

　　可知，故方程組(≠)無解，β不能由線性表示.

　　(II)當，且時，=3，故方程組(≠)有惟一解，

　　則β可由惟一地線性表示，其表示式為

　　(III)當時，對施以初等行變換，有可知=　2，故方程組(≠)有無窮多解，其全部解為，其中c為任意常數.

　　β可由線性表示，但表示不惟一，其表示式為.

　　例6　(04，)設矩陣的特徵方程有一個二重根，求a的值，並討論A是否可相似對角化.

　　解A的特徵多項式為.

　　若是特徵方程二重根，則有，解得.

　　當時，A的特徵值為2,2,6，矩陣的秩為1，故對應的線性無關的特徵向量有兩個，從而A可相似對角化.

　　若不是特徵方程的二重根，為完全平方，從而，解得.

　　當時，A的特徵值為2,4,4，矩陣的秩為2，故對應的線性無關的特徵向量只有一個，從而A不可相似對角化.

　　[評註]解答題主要考查考生對數學的基本原理、方法、公式掌握和熟練運用的程度，證明題主要考查考生對數學主要定理、原理的理解和掌握程度.

　　例5線性表出是常規題，方法是基本的.例6考查含參行列式的計算，特徵值、相似對角化的理論，綜合性較強，從卷面看各種錯誤(計算的、概念原理的、邏輯上的)還是很多的，我們應看出即使是解答題線性代數題難度適中，正確複習之後完全能拿下，但概念性強，有一定的綜合性與靈活性因此複習時要注意對概念的理解，對方法的把握，注意知識的內在聯繫，要確保基本計算準確熟練.

　　

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